45-45-90 kolmio -laskuri

Tämä laskuri laskee tasakylkisen suorakulmaisen kolmion eli 45-45-90-kolmion kaikki sivut, pinta-alan ja piirin yhdestä tunnetusta mitasta. Kolmion sivusuhde on kiinteä, joten yksi mitta riittää määräämään koko kolmion.

Mikä 45-45-90-kolmio on?

Nimi kertoo kolmion kulmat: kaksi kulmaa ovat 45 astetta ja kolmas 90 astetta. Koska kahta yhtä suurta kulmaa vastaavat sivut ovat yhtä pitkät, kolmio on tasakylkinen. Sen kaksi kateettia ovat yhtä pitkät ja kohtisuorassa toisiaan vasten.

Sivusuhde

45-45-90-kolmion sivujen suhde on aina sama:

kateetti : kateetti : hypotenuusa = 1 : 1 : √2

Kun kateetti on a, hypotenuusa saadaan Pythagoraan lauseesta: hypotenuusa = √(a² + a²) = a√2.

Kaavat

Kateetin a avulla muut suureet ovat:

hypotenuusa = a · √2 ≈ 1,414 · a

pinta-ala = a² ÷ 2

piiri = 2a + a√2

Jos hypotenuusa c tunnetaan, kateetti saadaan jakamalla: a = c ÷ √2.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan kolmio, jonka kateetti a = 5:

hypotenuusa = 5 · √2 ≈ 7,07

pinta-ala = 5² ÷ 2 = 12,5

piiri = 2 · 5 + 5√2 ≈ 17,07

Käänteinen esimerkki: jos hypotenuusa on 10, kateetti on 10 ÷ √2 ≈ 7,07, ja pinta-ala 7,07² ÷ 2 = 25.

Yhteys neliöön

Neliön lävistäjä jakaa neliön kahteen 45-45-90-kolmioon. Tämän vuoksi neliön, jonka sivu on a, lävistäjä on a√2. Sama luku √2 esiintyy myös A-sarjan paperikoissa, joissa pitkän sivun suhde lyhyeen on √2.

Erikoiskolmiot trigonometriassa

45-45-90-kolmio on toinen kahdesta erikoiskolmiosta, joiden sivusuhteet opetellaan ulkoa. Siitä saadaan trigonometriset tarkat arvot:

sin 45° = cos 45° = 1 ÷ √2 ≈ 0,707, tan 45° = 1

Käyttökohteet ja koulu

45-45-90-kolmiota käytetään suunnittelussa, rakentamisessa ja trigonometriassa, kun tarvitaan tarkkoja sivusuhteita ilman laskinta. Lukion geometriassa ja trigonometriassa erikoiskolmioiden sivusuhteet ovat keskeinen työkalu, joka nopeuttaa monia laskuja ja auttaa hahmottamaan kulmien ja sivujen yhteyttä.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on 45-45-90-kolmio?

45-45-90-kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka kaksi terävää kulmaa ovat molemmat 45 astetta. Se on samalla tasakylkinen, koska yhtä suuria kulmia vastaavat sivut eli kateetit ovat yhtä pitkät. Kolmas kulma on suora eli 90 astetta.

Mikä on 45-45-90-kolmion sivusuhde?

Sivujen suhde on aina 1 : 1 : √2. Kaksi kateettia ovat yhtä pitkät (suhde 1 : 1), ja hypotenuusa on kateetti kerrottuna luvulla √2 ≈ 1,414. Suhde pätee kaikenkokoisille 45-45-90-kolmioille.

Miten hypotenuusa lasketaan kateetista?

Hypotenuusa saadaan kertomalla kateetti luvulla √2: hypotenuusa = a · √2. Esimerkiksi kateetilla 5 hypotenuusa on 5 · √2 ≈ 7,07. Käänteisesti kateetti saadaan jakamalla hypotenuusa luvulla √2.

Miten lasken pinta-alan?

Koska kateetit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, ne toimivat kantana ja korkeutena. Pinta-ala on A = a² ÷ 2, missä a on kateetin pituus. Esimerkiksi kateetilla 5 ala on 25 ÷ 2 = 12,5.

Mihin 45-45-90-kolmiota tarvitaan?

Kolmio on yksi kahdesta erikoiskolmiosta (toinen on 30-60-90), joiden sivusuhteet kannattaa muistaa. Sitä esiintyy neliön lävistäjässä, joka jakaa neliön kahteen 45-45-90-kolmioon, sekä trigonometriassa, jossa sin 45° = cos 45° = 1 ÷ √2.

45-45-90 kolmio -laskuri

45-45-90-kolmio

Tulokset