Pascalin kolmio
Anna, montako riviä kolmiosta muodostetaan. Rivit numeroidaan 0:sta alkaen.
Yksittäinen binomikerroin C(n, k)
Laske yksittäinen kerroin "n yli k", missä 0 ≤ k ≤ n.
Pascalin kolmio -laskuri
Muodosta Pascalin kolmio halutulle rivimäärälle ja laske yksittäinen binomikerroin C(n, k). Jokainen luku on kahden yläpuolisen summa.
Tulokset
Pascalin kolmio -laskuri
Tällä laskurilla voit muodostaa Pascalin kolmion halutulle rivimäärälle ja laskea yksittäisen binomikertoimen C(n, k). Laskuri näyttää myös rivin lukujen summan, joka on aina kahden potenssi.
Mikä Pascalin kolmio on?
Pascalin kolmio on lukukolmio, jossa reunat ovat ykkösiä ja jokainen sisäluku on sen yläpuolella olevien kahden luvun summa. Rivit numeroidaan nollasta alkaen:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Esimerkiksi luvun 6 yläpuolella ovat luvut 3 ja 3, joiden summa on 6.
Binomikerroin
Pascalin kolmion luvut ovat binomikertoimia. Binomikerroin C(n, k) kertoo, kuinka monella tavalla n alkiosta voidaan valita k kappaletta, kun järjestyksellä ei ole väliä:
C(n, k) = n! / (k!(n−k)!)
Merkintä luetaan "n yli k". Huutomerkki tarkoittaa kertomaa, eli esimerkiksi 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan binomikerroin C(4, 2):
C(4, 2) = 4! / (2! · 2!)
C(4, 2) = 24 / (2 · 2)
C(4, 2) = 24 / 4 = 6
Tulos on 6, mikä vastaa Pascalin kolmion rivin 4 keskimmäistä lukua.
Rivin rakentaminen edellisestä rivistä
Jokainen rivi voidaan muodostaa edellisestä laskemalla vierekkäiset luvut yhteen. Tämä vastaa binomikertoimien perusyhtälöä:
C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)
Juuri tämä sääntö tekee kolmion rakentamisesta helppoa ilman kertomien laskemista.
Rivin summa
Pascalin kolmion rivin n lukujen summa on aina kahden potenssi:
C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2ⁿ
Esimerkiksi rivin 4 summa on 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
Yhteydet muihin lukujonoihin
Pascalin kolmio kätkee sisäänsä monia tuttuja lukujonoja. Kolmion toinen vino rivi sisältää luonnolliset luvut ja kolmas vino rivi kolmioluvut. Vinottain summattuna kolmiosta saadaan jopa Fibonaccin luvut, mikä tekee siitä yhden matematiikan rikkaimmista rakenteista.
Käyttökohteet
Pascalin kolmiota käytetään binomilauseen kertoimien laskemiseen, kun lauseke (a + b)ⁿ kerrotaan auki. Todennäköisyyslaskennassa kolmio antaa esimerkiksi kolikonheittojen tulosten jakauman, ja kombinatoriikassa se kertoo valintojen lukumäärän.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on Pascalin kolmio?
Pascalin kolmio on lukukolmio, jossa jokainen reuna koostuu ykkösistä ja jokainen sisäluku on sen yläpuolella olevien kahden luvun summa. Rivit numeroidaan nollasta alkaen, ja rivin luvut ovat binomikertoimia. Kolmio alkaa: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1.
Mikä on binomikerroin C(n, k)?
Binomikerroin C(n, k), luettuna "n yli k", kertoo, kuinka monella tavalla n alkion joukosta voidaan valita k alkiota, kun järjestyksellä ei ole väliä. Se lasketaan kaavalla C(n, k) = n! / (k!(n−k)!). Esimerkiksi C(4, 2) = 24 / (2 · 2) = 6.
Miten Pascalin kolmio liittyy binomikertoimiin?
Pascalin kolmion rivin n luvut ovat täsmälleen binomikertoimet C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n). Esimerkiksi rivi 4 on 1, 4, 6, 4, 1, mikä vastaa kertoimia C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4 ja C(4,4)=1.
Mikä on rivin lukujen summa?
Pascalin kolmion rivin n lukujen summa on aina 2ⁿ. Esimerkiksi rivin 4 summa on 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴. Tämä seuraa siitä, että rivin luvut ovat binomikertoimia, joiden summa on kahden potenssi.
Mihin Pascalin kolmiota käytetään?
Pascalin kolmiota käytetään binomilauseen kertoimien laskemiseen, todennäköisyyslaskennassa esimerkiksi kolikonheittojen jakaumissa sekä kombinatoriikassa valintojen lukumäärän selvittämiseen. Kolmiosta löytyvät myös kolmioluvut ja Fibonaccin luvut.
Oliko tästä laskurista apua?