30-60-90 kolmio
Valitse, mikä sivu on tunnettu, ja syötä sen pituus. Muut sivut lasketaan suhteesta 1 : √3 : 2.
30-60-90 kolmion laskuri
Laske 30-60-90 erikoiskolmion sivut, pinta-ala ja piiri yhdestä tunnetusta sivusta: sivujen suhde on aina 1 : √3 : 2.
Tulokset
30-60-90 kolmion laskuri
Tämä laskuri laskee 30-60-90 erikoiskolmion kaikki sivut sekä pinta-alan ja piirin yhdestä tunnetusta sivusta. Valitse, mikä sivu sinulla on tiedossa, niin saat muut suoraan kiinteän sivusuhteen avulla.
Mikä 30-60-90 kolmio on?
30-60-90 kolmio on suorakulmainen kolmio, jonka kulmat ovat 30°, 60° ja 90°. Koska kulmat ovat aina samat, myös sivujen keskinäinen suhde on aina sama. Tämän vuoksi yhdestä sivusta voi laskea kaikki muut ilman sini- tai kosinifunktioita.
Sivujen suhde
Sivut noudattavat aina suhdetta, jossa lyhyin sivu vastaa lukua 1:
lyhyt sivu : pitkä sivu : hypotenuusa = 1 : √3 : 2
Lyhyt sivu on 30° vastapäätä, pitkä sivu 60° vastapäätä ja hypotenuusa 90° vastapäätä. Lukuarvoina √3 ≈ 1,732 ja hypotenuusa on tasan kaksi kertaa lyhyt sivu.
Sivut yhdestä mitasta
Sen mukaan, mikä sivu tunnetaan, muut saadaan seuraavasti:
lyhyestä s: pitkä = s·√3, hypotenuusa = 2s
pitkästä L: lyhyt = L÷√3, hypotenuusa = 2L÷√3
hypotenuusasta h: lyhyt = h÷2, pitkä = h·√3÷2
Pinta-ala ja piiri
Koska kolmio on suorakulmainen, lyhyt ja pitkä sivu ovat sen kateetteja, joten:
A = ½ · lyhyt · pitkä
P = lyhyt + pitkä + hypotenuusa
Vaiheittainen esimerkki
Tunnetaan lyhyt sivu s = 4. Lasketaan muut sivut:
pitkä sivu = 4 · √3 ≈ 6,93
hypotenuusa = 2 · 4 = 8
Pinta-ala ja piiri:
A = ½ · 4 · 6,93 ≈ 13,86
P = 4 + 6,93 + 8 ≈ 18,93
Mistä suhde tulee?
Sivujen suhde periytyy tasasivuisesta kolmiosta. Kun tasasivuinen kolmio jaetaan korkeusjanalla kahtia, syntyy kaksi 30-60-90 kolmiota. Lyhyt sivu on tällöin puolet alkuperäisestä sivusta ja pitkä sivu on korkeus, joka on Pythagoraan lauseen mukaan √3 kertaa lyhyt sivu.
30-60-90 kolmio koulussa
Erikoiskolmiot 30-60-90 ja 45-45-90 opetellaan trigonometrian alussa, koska niiden avulla saadaan trigonometristen funktioiden tarkat arvot, kuten sin 30° = ½ ja sin 60° = √3 ÷ 2. Niitä käytetään myös nopeisiin sivulaskuihin tehtävissä, joissa ei haluta turvautua laskimeen.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on 30-60-90 kolmio?
Se on suorakulmainen kolmio, jonka kulmat ovat 30°, 60° ja 90°. Tällaisen kolmion sivut ovat aina samassa suhteessa, mikä tekee siitä erikoiskolmion: kun yksi sivu tunnetaan, kaikki muut voidaan laskea ilman trigonometriaa.
Mikä on 30-60-90 kolmion sivujen suhde?
Sivujen suhde on aina 1 : √3 : 2. Lyhyt sivu (30° vastapäätä) vastaa lukua 1, pitkä sivu (60° vastapäätä) lukua √3 ≈ 1,732 ja hypotenuusa (90° vastapäätä) lukua 2. Esimerkiksi jos lyhyt sivu on 4, pitkä sivu on 4√3 ≈ 6,93 ja hypotenuusa 8.
Miten lasken sivut hypotenuusasta?
Lyhyt sivu on puolet hypotenuusasta: short = hyp ÷ 2. Pitkä sivu on hyp · √3 ÷ 2. Esimerkiksi hypotenuusalla 10 lyhyt sivu on 5 ja pitkä sivu 10 · √3 ÷ 2 ≈ 8,66.
Miten 30-60-90 kolmion ala lasketaan?
Koska kolmio on suorakulmainen, sen kateetit ovat lyhyt ja pitkä sivu, joten ala on A = ½ · lyhyt · pitkä. Esimerkiksi lyhyt sivu 4 ja pitkä sivu 4√3 antavat alan ½ · 4 · 4√3 ≈ 13,86.
Mistä sivujen suhde johtuu?
Suhde seuraa tasasivuisesta kolmiosta. Kun tasasivuinen kolmio puolitetaan korkeusjanalla, syntyy kaksi 30-60-90 kolmiota. Lyhyt sivu on tällöin puolet alkuperäisestä sivusta ja pitkä sivu on korkeus, joka on Pythagoraan lauseen mukaan √3-kertainen lyhyeen sivuun nähden.
Oliko tästä laskurista apua?