Geometrisen jonon tiedot
Syötä ensimmäinen jäsen, suhdeluku ja kuinka monta jäsentä lasketaan.
Geometrinen jono
Laske geometrisen jonon n:s jäsen, jäsenten summa ja näe jonon ensimmäiset luvut alkuarvon ja suhdeluvun perusteella.
Geometrinen jono – laske jäsen ja summa helposti
Geometrisen jonon laskuri laskee jonon n:nnen jäsenen, jäsenten summan ja näyttää jonon ensimmäiset luvut. Syötä jonon ensimmäinen jäsen, peräkkäisten jäsenten suhdeluku ja jäsenten lukumäärä, niin saat tulokset heti. Laskuri sopii lukiolaisille ja kaikille, jotka opiskelevat lukujonoja.
Mikä on geometrinen jono?
Geometrinen jono on lukujono, jossa peräkkäisten jäsenten suhde on aina vakio. Tätä suhdetta kutsutaan suhdeluvuksi ja merkitään kirjaimella r. Jokainen seuraava jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen suhdeluvulla r. Esimerkiksi jono 2, 6, 18, 54 on geometrinen, koska jokainen jäsen on edellistä kolme kertaa suurempi.
Geometrisen jonon n:s jäsen
Minkä tahansa jäsenen voi laskea suoraan yleisen jäsenen kaavalla, ilman että lasketaan kaikkia edeltäviä jäseniä:
aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
Tässä a₁ on ensimmäinen jäsen, r on suhdeluku ja n on jäsenen järjestysnumero.
Esimerkki: kun a₁ = 2, r = 3 ja n = 5, niin a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162.
Geometrisen jonon summa
Kun suhdeluku ei ole 1, ensimmäisten n jäsenen summa lasketaan kaavalla:
Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)
Esimerkki: summataan jonon 2, 6, 18, 54, 162 viisi ensimmäistä jäsentä. S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · 242 / 2 = 242. Jos suhdeluku on 1, kaikki jäsenet ovat samoja ja summa on yksinkertaisesti n · a₁.
Suhdeluvun merkitys
Suhdeluku r ratkaisee, miten jono käyttäytyy. Jos itseisarvo on suurempi kuin yksi, jäsenet kasvavat nopeasti. Jos itseisarvo on välillä −1 ja 1, jäsenet pienenevät kohti nollaa. Negatiivinen suhdeluku saa jäsenten merkin vaihtelemaan, esimerkiksi 3, −6, 12, −24 suhdeluvulla −2.
Suppeneva geometrinen sarja
Kun suhdeluvun itseisarvo on pienempi kuin yksi, myös ääretön geometrinen sarja suppenee. Tällöin kaikkien jäsenten summa lähestyy arvoa a₁ / (1 − r). Esimerkiksi 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1 / (1 − 0,5) = 2.
Missä geometrisia jonoja käytetään?
Geometriset jonot kuvaavat ilmiöitä, joissa määrä muuttuu kiinteällä prosentilla. Esimerkiksi koronkorko, väestönkasvu ja arvon aleneminen ovat geometrisia. Korkoa korolle -laskennassa pääoma kasvaa vuosittain samalla suhdeluvulla, joten saldot muodostavat geometrisen jonon.
Vinkkejä lukujonojen laskemiseen
- Tarkista suhdeluku: jaa kaksi peräkkäistä jäsentä keskenään varmistaaksesi, että jono on geometrinen.
- Käytä yleistä kaavaa: n:nnen jäsenen kaavalla löydät minkä tahansa jäsenen suoraan.
- Huomioi etumerkki: negatiivinen suhdeluku vaihtaa jäsenten merkkiä joka askeleella.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on geometrinen jono?
Geometrinen jono on lukujono, jossa peräkkäisten jäsenten suhde on aina sama. Tätä suhdetta kutsutaan suhdeluvuksi (r). Esimerkiksi 2, 6, 18, 54 on geometrinen jono, jonka suhdeluku on 3, koska jokainen jäsen on edellistä kolme kertaa suurempi.
Miten lasken geometrisen jonon n:nnen jäsenen?
Käytä kaavaa aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, missä a₁ on ensimmäinen jäsen, r on suhdeluku ja n on jäsenen järjestysnumero. Esimerkiksi jos a₁ = 2, r = 3 ja n = 5, niin a₅ = 2·3⁴ = 2·81 = 162.
Miten lasken geometrisen jonon summan?
Kun suhdeluku ei ole 1, summa lasketaan kaavalla Sₙ = a₁·(rⁿ − 1) / (r − 1). Esimerkiksi 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 2·(3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2·242 / 2 = 242. Jos r = 1, summa on n·a₁.
Mitä tapahtuu, kun suhdeluku on välillä −1 ja 1?
Jos suhdeluvun itseisarvo on pienempi kuin yksi, jäsenet pienenevät kohti nollaa. Tällöin myös ääretön geometrinen sarja suppenee ja sen summa on a₁ / (1 − r). Esimerkiksi 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1 / (1 − 0,5) = 2.
Oliko tästä laskurista apua?
