Yhtälö ax² + bx + c = 0
Syötä yhtälön kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Toisen asteen yhtälön ratkaisija
Ratkaise toisen asteen yhtälö ax² + bx + c = 0: laskuri näyttää diskriminantin, molemmat juuret ja paraabelin huipun.
Toisen asteen yhtälön ratkaisija
Toisen asteen yhtälö on muotoa ax² + bx + c = 0, jossa a ≠ 0. Tämä laskuri ratkaisee yhtälön ratkaisukaavalla ja näyttää diskriminantin, molemmat juuret sekä paraabelin huipun. Syötä kertoimet a, b ja c, niin tulos päivittyy heti.
Ratkaisukaava
Yhtälön juuret saadaan ratkaisukaavalla, joka toimii kaikilla toisen asteen yhtälöillä:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Plus-miinus-merkki tarkoittaa, että juuria on yleensä kaksi: toinen lasketaan plus-merkillä ja toinen miinus-merkillä.
Diskriminantti
Diskriminantti on neliöjuuren alla oleva lauseke, ja se kertoo juurten määrän ennen koko kaavan laskemista:
D = b² − 4ac
- D > 0: kaksi erillistä reaalijuurta. Paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä.
- D = 0: yksi kaksinkertainen juuri. Paraabeli sivuaa x-akselia.
- D < 0: ei reaalijuuria, vaan kaksi kompleksista juurta. Paraabeli ei kosketa x-akselia.
Paraabelin huippu
Funktion y = ax² + bx + c kuvaaja on paraabeli, jonka huippu eli ääriarvokohta on kohdassa:
x = −b / (2a), y = c − b² / (4a)
Kun a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin ja huippu on funktion minimi. Kun a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin ja huippu on maksimi.
Esimerkki
Ratkaistaan yhtälö x² − 5x + 6 = 0, eli a = 1, b = −5 ja c = 6.
Diskriminantti: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Koska D > 0, juuria on kaksi.
Juuret: x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2, eli x = 3 ja x = 2. Yhtälön juuret ovat siis 2 ja 3.
Huippu: x = 5 / 2 = 2,5 ja y = 6 − 25 / 4 = −0,25, joten huippu on pisteessä (2,5; −0,25).
Mihin toisen asteen yhtälöä käytetään?
Toisen asteen yhtälöitä esiintyy lukion matematiikassa, fysiikassa (esimerkiksi heittoliike) ja taloudessa. Aina kun ilmiötä kuvaa neliöllinen riippuvuus, ratkaisu löytyy ratkaisukaavalla tai tällä laskurilla.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on toisen asteen yhtälön ratkaisukaava?
Ratkaisukaava on x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Sijoita kertoimet a, b ja c kaavaan, niin saat yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret.
Mitä diskriminantti kertoo?
Diskriminantti D = b² − 4ac kertoo juurten luonteen. Kun D > 0, juuria on kaksi erillistä reaalijuurta. Kun D = 0, on yksi kaksinkertainen juuri. Kun D < 0, reaalijuuria ei ole vaan kaksi kompleksista juurta.
Miten lasken paraabelin huipun?
Huipun x-koordinaatti on x = −b / (2a) ja y-koordinaatti saadaan sijoittamalla tämä yhtälöön. Huippu on paraabelin ääriarvokohta: minimi kun a > 0 ja maksimi kun a < 0.
Mitä jos kerroin a on nolla?
Jos a = 0, yhtälö ei ole toisen asteen yhtälö vaan ensimmäisen asteen yhtälö bx + c = 0, jonka ratkaisu on x = −c / b. Laskuri huomauttaa tästä.
Voiko toisen asteen yhtälöllä olla vain yksi juuri?
Kyllä. Kun diskriminantti on tasan nolla, yhtälöllä on yksi kaksinkertainen juuri x = −b / (2a). Tällöin paraabeli sivuaa x-akselia yhdessä pisteessä.
Oliko tästä laskurista apua?
