Polynomin aste ja kertoimet
Valitse aste ja syötä kertoimet korkeimmasta termistä alkaen.
Polynomin juuret ja nollakohdat
Laske toisen ja kolmannen asteen polynomin nollakohdat eli juuret. Syötä kertoimet, niin laskuri näyttää kaikki reaali- ja kompleksijuuret.
Polynomin juuret ja nollakohdat
Polynomin nollakohdat eli juuret ovat ne muuttujan arvot, joilla polynomi saa arvon nolla. Kuvaajassa ne näkyvät kohtina, joissa käyrä leikkaa tai sivuaa x-akselia. Tämä laskuri ratkaisee toisen ja kolmannen asteen polynomin juuret, myös kompleksiset.
Toisen asteen polynomi
Polynomi ax² + bx + c ratkeaa ratkaisukaavalla, ja diskriminantti kertoo juurten määrän:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Jos diskriminantti D = b² − 4ac on positiivinen, reaalijuuria on kaksi; jos nolla, yksi kaksinkertainen; jos negatiivinen, juuret ovat kompleksisia.
Kolmannen asteen polynomi
Polynomi ax³ + bx² + cx + d ratkaistaan muuttamalla se ensin yksinkertaisempaan, vajaaseen muotoon sijoituksella x = t − b/(3a):
t³ + pt + q = 0
Tämä ratkeaa Cardanon kaavoilla. Kolmannen asteen polynomilla on aina vähintään yksi reaalijuuri, koska pariton polynomi saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Juuria on kaikkiaan kolme.
Esimerkki: toinen aste
Polynomi x² − 5x + 6: D = 25 − 24 = 1, joten juuret ovat x = (5 ± 1) / 2 = 2 ja 3.
Esimerkki: kolmas aste
Polynomi x³ − 6x² + 11x − 6 tekijöityy muotoon (x − 1)(x − 2)(x − 3), joten juuret ovat 1, 2 ja 3.
Algebran peruslause
Algebran peruslauseen mukaan asteen n polynomilla on täsmälleen n juurta, kun mukaan lasketaan kompleksiset juuret ja niiden kertaluvut. Reaalikertoimisella polynomilla kompleksiset juuret esiintyvät aina liittolukupareina.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä polynomin juuret eli nollakohdat ovat?
Juuret ovat ne muuttujan arvot, joilla polynomi saa arvon nolla. Kuvaajalla ne ovat kohtia, joissa käyrä leikkaa tai sivuaa x-akselia.
Kuinka monta juurta polynomilla on?
Asteen n polynomilla on algebran peruslauseen mukaan täsmälleen n juurta, kun mukaan luetaan kompleksiset juuret ja kertaluvut. Toisen asteen polynomilla on kaksi ja kolmannen asteen polynomilla kolme juurta.
Miten kolmannen asteen polynomi ratkaistaan?
Yhtälö ax³ + bx² + cx + d = 0 muunnetaan sijoituksella x = t − b/(3a) yksinkertaisempaan muotoon t³ + pt + q = 0, joka ratkeaa Cardanon kaavoilla. Kolmannen asteen polynomilla on aina vähintään yksi reaalijuuri.
Voiko polynomilla olla kompleksisia juuria?
Kyllä. Jos toisen asteen polynomin diskriminantti on negatiivinen, juuret ovat kompleksisia. Reaalikertoimisella polynomilla kompleksijuuret esiintyvät aina liittolukupareina.
Oliko tästä laskurista apua?
