Karakteristinen polynomi -laskuri
Valitse matriisin koko ja syötä alkiot ruudukkoon. Karakteristinen polynomi det(A − λI) näkyy oikealla. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
Karakteristinen polynomi
Laske neliömatriisin karakteristinen polynomi det(A − λI) – syötä alkiot ja saat polynomin kertoimineen.
Karakteristinen polynomi – det(A − λI)
Tällä laskurilla muodostat neliömatriisin karakteristisen polynomin. Karakteristinen polynomi on lineaarialgebran keskeinen työkalu, sillä sen nollakohdat ovat matriisin ominaisarvot. Syötä 2×2- tai 3×3-matriisin alkiot ruudukkoon, niin näet polynomin kertoimineen sekä matriisin jäljen ja determinantin.
Mikä on karakteristinen polynomi?
Neliömatriisin A karakteristinen polynomi määritellään determinanttina, jossa lävistäjältä vähennetään muuttuja λ:
p(λ) = det(A − λI)
Tässä I on yksikkömatriisi. Polynomin aste on sama kuin matriisin koko, joten 2×2-matriisille saadaan toisen asteen ja 3×3-matriisille kolmannen asteen polynomi.
2×2-matriisin polynomi
Kun matriisi on [[a, b], [c, d]], karakteristinen polynomi on:
p(λ) = λ² − (a + d)·λ + (a·d − b·c)
Tässä a + d on matriisin jälki tr(A) ja a·d − b·c sen determinantti. Polynomi voidaan siis kirjoittaa muotoon λ² − tr(A)·λ + det(A).
3×3-matriisin polynomi
Kolmannen kertaluvun matriisille karakteristinen polynomi on:
p(λ) = λ³ − tr(A)·λ² + c₁·λ − det(A)
Tässä tr(A) on jälki, det(A) determinantti ja c₁ on matriisin kolmen päälävistäjän suuntaisen 2×2-pääminorin summa. Kertoimet ovat matriisin invariantteja: ne säilyvät kannan vaihdossa.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan symmetrisen matriisin [[2, 1], [1, 2]] karakteristinen polynomi.
- Jälki: tr(A) = 2 + 2 = 4.
- Determinantti: det(A) = 2·2 − 1·1 = 3.
- Polynomi: p(λ) = λ² − 4λ + 3.
Polynomin nollakohdat ratkaisemalla (λ − 1)(λ − 3) = 0 saadaan ominaisarvot λ = 1 ja λ = 3. Karakteristinen polynomi siis johtaa suoraan ominaisarvoihin.
Karakteristinen yhtälö ja ominaisarvot
Kun karakteristinen polynomi asetetaan nollaksi, saadaan karakteristinen yhtälö:
det(A − λI) = 0
Tämän yhtälön juuret ovat matriisin ominaisarvot. Ominaisarvojen summa on aina yhtä suuri kuin jälki ja niiden tulo yhtä suuri kuin determinantti – nämä yhteydet näkyvät suoraan polynomin kertoimissa.
Cayley–Hamiltonin lause
Karakteristiseen polynomiin liittyy klassinen Cayley–Hamiltonin lause: jokainen neliömatriisi toteuttaa oman karakteristisen polynominsa, eli p(A) = 0. Tätä tulosta hyödynnetään muun muassa matriisin potenssien laskemisessa ja käänteismatriisin esittämisessä matriisin potenssien avulla.
Mihin karakteristista polynomia käytetään?
Karakteristinen polynomi on perusta ominaisarvojen ja -vektorien laskennalle, ja sitä käytetään muun muassa differentiaaliyhtälöiden, värähtelyjen ja stabiiliuden analyysissä sekä koneoppimisen menetelmissä. Koska polynomin kertoimet ovat matriisin invariantteja, ne kuvaavat lineaarikuvauksen olennaisia ominaisuuksia kannasta riippumatta.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on karakteristinen polynomi?
Karakteristinen polynomi on neliömatriisin A polynomi p(λ) = det(A − λI), jossa I on yksikkömatriisi ja λ muuttuja. Polynomin aste on sama kuin matriisin koko: 2×2-matriisille toisen asteen ja 3×3-matriisille kolmannen asteen polynomi. Polynomin nollakohdat eli juuret ovat matriisin ominaisarvot.
Miten karakteristinen polynomi muodostetaan?
2×2-matriisille polynomi on λ² − tr(A)·λ + det(A), jossa tr(A) on jälki ja det(A) determinantti. 3×3-matriisille polynomi on λ³ − tr(A)·λ² + c₁·λ − det(A), jossa c₁ on matriisin kolmen päälävistäjän suuntaisen 2×2-pääminorin summa. Tämä laskuri laskee kertoimet automaattisesti.
Mikä on karakteristisen polynomin ja ominaisarvojen yhteys?
Matriisin ominaisarvot ovat täsmälleen karakteristisen polynomin nollakohdat. Kun ratkaistaan yhtälö det(A − λI) = 0, saadaan kaikki ominaisarvot. Tämän vuoksi yhtälöä det(A − λI) = 0 kutsutaan karakteristiseksi yhtälöksi. Ominaisarvojen summa on jälki ja tulo determinantti.
Mitä Cayley–Hamiltonin lause sanoo?
Cayley–Hamiltonin lauseen mukaan jokainen neliömatriisi toteuttaa oman karakteristisen polynominsa. Toisin sanoen, jos polynomi on p(λ), niin p(A) = 0, kun λ:n tilalle sijoitetaan matriisi A ja vakiotermi kerrotaan yksikkömatriisilla. Tämä lause on hyödyllinen muun muassa matriisin potenssien ja käänteismatriisin laskennassa.
Riippuuko karakteristinen polynomi kantavalinnasta?
Ei riipu. Similaariset matriisit (eli matriisit muotoa P⁻¹AP) jakavat saman karakteristisen polynomin. Tämä tarkoittaa, että polynomin kertoimet – kuten jälki ja determinantti – ovat matriisin invariantteja, jotka eivät muutu kannan vaihdossa. Siksi ne kuvaavat lineaarikuvauksen olennaisia ominaisuuksia.
Oliko tästä laskurista apua?
