Determinanttilaskuri
Valitse koko, syötä matriisin alkiot ruudukkoon ja lue determinantti oikealta. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
Determinantti
Laske 2×2- tai 3×3-matriisin determinantti nopeasti ja näe, onko matriisi kääntyvä.
Determinanttilaskuri – matriisin determinantti helposti
Tällä determinanttilaskurilla lasket 2×2- ja 3×3-matriisin determinantin. Determinantti on yksittäinen luku, joka kertoo paljon matriisin ominaisuuksista: muun muassa sen, onko matriisi kääntyvä ja kuinka se skaalaa pinta-alaa tai tilavuutta. Syötä matriisin alkiot ruudukkoon, niin näet tuloksen heti.
2×2-matriisin determinantti
Kun matriisi on muotoa [[a, b], [c, d]], sen determinantti lasketaan kaavalla:
det = a·d − b·c
Esimerkiksi matriisin [[1, 2], [3, 4]] determinantti on 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Koska tulos poikkeaa nollasta, matriisi on kääntyvä eli sillä on käänteismatriisi.
3×3-matriisin determinantti
3×3-matriisin determinantti lasketaan kofaktorikehitelmällä. Kun kehitetään ensimmäisen rivin suhteen:
det = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)
Jokainen sulkulauseke on 2×2-alimatriisin determinantti, joka saadaan poistamalla kyseisen alkion rivi ja sarake. Etumerkit vuorottelevat kaavan + − + mukaisesti.
Sarrusin sääntö
3×3-matriiseille kätevä apukeino on Sarrusin sääntö. Siinä lasketaan yhteen kolmen päälävistäjän suuntaisen tulon summa ja vähennetään kolmen vastalävistäjän suuntaisen tulon summa:
det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
Sarrusin sääntö antaa saman tuloksen kuin kofaktorikehitelmä, mutta se toimii ainoastaan 3×3-matriiseille.
Laskettu esimerkki: 3×3
Lasketaan matriisin [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]] determinantti kofaktorikehitelmällä:
- 6·((−2)·7 − 5·8) = 6·(−14 − 40) = 6·(−54) = −324
- −1·(4·7 − 5·2) = −1·(28 − 10) = −18
- +1·(4·8 − (−2)·2) = 1·(32 + 4) = 36
Determinantti on −324 − 18 + 36 = −306.
Mitä determinantti kertoo?
- Kääntyvyys: jos det ≠ 0, matriisi on kääntyvä ja sillä on käänteismatriisi.
- Singulaarisuus: jos det = 0, matriisi on singulaarinen eikä sitä voi kääntää.
- Pinta-ala ja tilavuus: determinantin itseisarvo kertoo, kuinka muunnos skaalaa pinta-alaa (2×2) tai tilavuutta (3×3).
- Suunnistus: negatiivinen determinantti tarkoittaa suunnistuksen kääntymistä eli peilausta.
Mihin determinanttia käytetään?
Determinanttia tarvitaan käänteismatriisin laskennassa, Cramerin säännössä yhtälöryhmien ratkaisemiseen, ominaisarvojen määrittämisessä sekä monissa geometrian ja fysiikan sovelluksissa. Se on yksi lineaarialgebran keskeisimmistä käsitteistä.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Miten 2×2-matriisin determinantti lasketaan?
Kun matriisi on [[a, b], [c, d]], sen determinantti on det = a·d − b·c. Esimerkiksi matriisin [[1, 2], [3, 4]] determinantti on 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2. Determinantti on yksittäinen luku, joka kuvaa muun muassa sitä, kuinka matriisi skaalaa pinta-alaa.
Miten 3×3-matriisin determinantti lasketaan?
Yleinen tapa on kofaktorikehitelmä ensimmäisen rivin suhteen: det = a₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃, missä Mᵢⱼ on alkion poistamisen jälkeen jäljelle jäävän 2×2-matriisin determinantti. Vaihtoehtoisesti voi käyttää Sarrusin sääntöä, joka toimii vain 3×3-matriiseille.
Mitä determinantti kertoo?
Determinantti on luku, joka kertoo matriisin keskeisiä ominaisuuksia. Jos determinantti on nolla, matriisi on singulaarinen eikä sillä ole käänteismatriisia, ja sitä vastaava yhtälöryhmä ei ratkea yksikäsitteisesti. Geometrisesti determinantin itseisarvo kuvaa, kuinka matriisin määräämä muunnos skaalaa pinta-alaa (2×2) tai tilavuutta (3×3).
Mikä on singulaarinen matriisi?
Matriisi on singulaarinen, kun sen determinantti on nolla. Tällöin matriisilla ei ole käänteismatriisia, sen rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia, eikä sitä vastaava lineaarinen yhtälöryhmä ratkea yksikäsitteisesti. Jos determinantti poikkeaa nollasta, matriisi on kääntyvä eli ei-singulaarinen.
Voiko determinantti olla negatiivinen?
Kyllä. Determinantti voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla. Negatiivinen determinantti tarkoittaa geometrisesti, että muunnos kääntää suunnistuksen (esimerkiksi peilaa). Determinantin itseisarvo kertoo skaalauskertoimen pinta-alalle tai tilavuudelle.
Oliko tästä laskurista apua?
