Matriisien peruslaskut

Matriisilaskuri – yhteen-, vähennys- ja kertolasku

Tällä matriisilaskurilla lasket kahden matriisin summan, erotuksen ja tulon sekä matriisin kertomisen skalaarilla. Laskuri tukee sekä 2×2- että 3×3-matriiseja, ja tulos näytetään aina selkeässä matriisimuodossa. Työkalu sopii erinomaisesti lukion ja korkeakoulun matematiikan tehtäviin, kuten lineaarialgebran kursseille.

Mikä on matriisi?

Matriisi on suorakulmainen lukutaulukko, jossa luvut on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Matriisin kokoa merkitään muodossa rivit × sarakkeet, eli esimerkiksi 2×2-matriisissa on kaksi riviä ja kaksi saraketta. Yksittäistä lukua matriisissa kutsutaan alkioksi, ja sen paikka ilmaistaan rivin ja sarakkeen indeksillä (i, j).

Matriisien yhteen- ja vähennyslasku

Saman kokoiset matriisit lasketaan yhteen laskemalla vastinalkiot yhteen. Tulosmatriisin alkio paikassa (i, j) on siis matriisien A ja B vastaavien alkioiden summa:

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

Vähennyslasku toimii samalla periaatteella, mutta alkiot vähennetään: (A − B)ᵢⱼ = aᵢⱼ − bᵢⱼ. Sekä yhteen- että vähennyslasku edellyttävät, että matriiseilla on sama koko.

Matriisitulo

Matriisien kertolasku poikkeaa selvästi alkioittaisesta laskennasta. Tulomatriisin alkio paikassa (i, j) saadaan kertomalla ensimmäisen matriisin rivi i toisen matriisin sarakkeella j ja laskemalla osatulot yhteen:

(A · B)ᵢⱼ = aᵢ₁·b₁ⱼ + aᵢ₂·b₂ⱼ + … + aᵢ_n·b_nⱼ

Matriisitulo on määritelty, kun ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien määrä. Neliömatriiseilla, kuten tämän laskurin 2×2- ja 3×3-matriiseilla, tulo on aina laskettavissa.

Laskettu esimerkki: matriisitulo

Lasketaan tulo, kun A = [[1, 2], [3, 4]] ja B = [[5, 6], [7, 8]].

• Alkio (1,1): 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
• Alkio (1,2): 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
• Alkio (2,1): 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
• Alkio (2,2): 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

Tulokseksi saadaan A · B = [[19, 22], [43, 50]].

Skalaarikertolasku

Matriisi kerrotaan luvulla eli skalaarilla kertomalla jokainen alkio samalla luvulla:

(c · A)ᵢⱼ = c · aᵢⱼ

Jos esimerkiksi A = [[1, 2], [3, 4]] ja skalaari c = 2, tulos on 2·A = [[2, 4], [6, 8]]. Skalaari voi olla negatiivinen tai desimaaliluku.

Matriisilaskennan ominaisuuksia

• Yhteenlasku on vaihdannainen: A + B = B + A.
• Tulo ei ole vaihdannainen: yleensä A · B ≠ B · A, joten kertomisjärjestyksellä on merkitystä.
• Liitännäisyys: (A · B) · C = A · (B · C).
• Osittelulaki: A · (B + C) = A · B + A · C.

Mihin matriisilaskuja käytetään?

Matriiseja käytetään muun muassa yhtälöryhmien ratkaisemisessa, geometrisissa muunnoksissa (kuten kierto ja skaalaus), tilastotieteessä, tietokonegrafiikassa ja koneoppimisessa. Peruslaskutoimitusten hallinta on edellytys vaativammille menetelmille, kuten determinantin, käänteismatriisin ja matriisihajotelmien laskennalle.