LU-hajotelmalaskuri
Valitse koko, syötä matriisin alkiot ruudukkoon ja lue matriisit L ja U oikealta. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
LU-hajotelma
Laske LU-hajotelma osittaistuennalla: matriisi jaetaan alakolmio- ja yläkolmiomatriisin tuloksi.
LU-hajotelmalaskuri – matriisin LU-hajotelma
Tällä laskurilla muodostat 2×2- ja 3×3-matriisin LU-hajotelman osittaistuennalla. LU-hajotelma on numeerisen lineaarialgebran keskeinen menetelmä, jolla matriisi esitetään ala- ja yläkolmiomatriisin tulona. Syötä matriisin alkiot ruudukkoon, niin näet matriisit L ja U sekä rivien järjestyksen.
Mikä on LU-hajotelma?
LU-hajotelmassa neliömatriisi A esitetään kahden kolmiomatriisin tulona. Osittaistuennan kanssa hajotelma kirjoitetaan muodossa:
P · A = L · U
Tässä L on alakolmiomatriisi, jonka lävistäjällä on ykkösiä, U on yläkolmiomatriisi ja P on permutaatio, joka kuvaa eliminoinnissa tehdyt rivien vaihdot.
Osittaistuenta
Osittaistuennassa jokaisessa vaiheessa valitaan tukialkioksi käsiteltävän sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio, ja rivit vaihdetaan tarvittaessa. Tämä parantaa laskennan numeerista tarkkuutta ja välttää jakamisen hyvin pienellä luvulla. Laskuri esittää rivien lopullisen järjestyksen, joka vastaa permutaatiomatriisia P.
Doolittlen menetelmä
Laskuri käyttää Doolittlen menetelmää, jossa alakolmiomatriisin L lävistäjälle asetetaan ykköset. Alapuolen alkiot ovat eliminoinnissa käytetyt kertoimet, ja yläkolmiomatriisi U syntyy eliminoinnin tuloksena. Hajotelma muodostetaan vaihe vaiheelta sarakkeittain.
Laskettu esimerkki
Hajotetaan matriisi A = [[2, 1, 1], [4, −6, 0], [−2, 7, 2]]. Osittaistuenta vaihtaa ensimmäiseksi riviksi suurimman tukialkion rivin (4), joten rivijärjestys on (2, 1, 3). Tuloksena saadaan:
L = [[1, 0, 0], [0,5, 1, 0], [−0,5, 1, 1]], U = [[4, −6, 0], [0, 4, 1], [0, 0, 1]]
Tällöin pätee L · U = P · A, eli tulo palauttaa alkuperäisen matriisin rivit permutaation mukaisessa järjestyksessä.
Yhtälöryhmän ratkaisu LU-hajotelmalla
Kun A on hajotettu, lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b ratkaistaan kahdella nopealla vaiheella:
- Eteenpäin sijoitus: ratkaise Ly = Pb ylhäältä alaspäin.
- Taaksepäin sijoitus: ratkaise Ux = y alhaalta ylöspäin.
Tämä on tehokasta erityisesti silloin, kun samalla kerroinmatriisilla ratkaistaan useita yhtälöryhmiä eri vakiotermeillä.
LU-hajotelman käyttökohteet
- Yhtälöryhmät: nopea ratkaisu sijoitusmenetelmillä.
- Determinantti: det(A) on U:n lävistäjäalkioiden tulo kerrottuna rivien vaihtojen etumerkillä.
- Käänteismatriisi: saadaan ratkaisemalla useita yhtälöryhmiä yksikkömatriisin sarakkeilla.
- Numeerinen laskenta: perusta monille tieteellisille ohjelmistoille.
LU- ja QR-hajotelma
LU-hajotelman ohella käytetään usein QR-hajotelmaa, jossa matriisi jaetaan ortogonaalisen matriisin Q ja yläkolmiomatriisin R tuloksi. QR-hajotelma soveltuu erityisesti pienimmän neliösumman tehtäviin ja ominaisarvojen laskentaan. Tämä laskuri keskittyy LU-hajotelmaan, joka on luontevin neliömatriisien yhtälöryhmien ratkaisemiseen.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on LU-hajotelma?
LU-hajotelma esittää neliömatriisin A kahden kolmiomatriisin tulona: A = L·U, missä L on alakolmiomatriisi ja U on yläkolmiomatriisi. Osittaistuennan kanssa hajotelma kirjoitetaan muodossa P·A = L·U, jossa P kuvaa rivien vaihdot. Hajotelma helpottaa muun muassa lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemista.
Mitä tarkoittaa osittaistuenta?
Osittaistuenta tarkoittaa, että jokaisessa eliminointivaiheessa valitaan tukialkioksi sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja rivit vaihdetaan tarvittaessa. Tämä parantaa numeerista tarkkuutta ja estää jakamisen hyvin pienellä luvulla. Rivien vaihdot kirjataan permutaatiomatriisiin P tai rivijärjestykseen.
Miksi L:n lävistäjällä on ykkösiä?
Tämä laskuri käyttää Doolittlen menetelmää, jossa alakolmiomatriisin L lävistäjälle asetetaan ykköset. Tällöin U:n lävistäjälle jäävät tukialkiot. Vaihtoehtoisessa Crout-menetelmässä ykköset asetettaisiin U:n lävistäjälle. Molemmat tuottavat saman tuloksen, mutta jako L:n ja U:n välillä on erilainen.
Mihin LU-hajotelmaa käytetään?
LU-hajotelmaa käytetään lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen tehokkaasti: kun A on hajotettu, ryhmä Ax = b ratkaistaan kahdella nopealla sijoitusvaiheella (Ly = Pb ja Ux = y). Lisäksi sitä käytetään determinantin laskentaan ja käänteismatriisin määrittämiseen, erityisesti kun samalla matriisilla ratkaistaan useita yhtälöryhmiä.
Mitä eroa on LU- ja QR-hajotelmalla?
LU-hajotelma jakaa matriisin ala- ja yläkolmiomatriisiksi ja sopii erityisesti neliömatriisien yhtälöryhmiin. QR-hajotelma puolestaan jakaa matriisin ortogonaalisen matriisin Q ja yläkolmiomatriisin R tuloksi, ja sitä käytetään muun muassa pienimmän neliösumman tehtävissä ja ominaisarvojen laskennassa. Tämä laskuri keskittyy LU-hajotelmaan.
Oliko tästä laskurista apua?
