Cramerin sääntö -laskuri
Valitse yhtälöiden määrä, syötä kerroinmatriisi A ja vakiotermivektori b ja lue ratkaisu oikealta. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
Cramerin sääntö
Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä Cramerin säännöllä determinanttien avulla.
Cramerin sääntö – ratkaise yhtälöryhmä determinanteilla
Tällä laskurilla ratkaiset 2×2- ja 3×3-lineaarisen yhtälöryhmän Cramerin säännöllä. Cramerin sääntö on havainnollinen menetelmä, jossa tuntemattomat lasketaan determinanttien suhteena. Syötä kerroinmatriisi ja vakiotermit, niin näet ratkaisun heti.
Mikä on Cramerin sääntö?
Kun lineaarinen yhtälöryhmä kirjoitetaan matriisimuodossa Ax = b, jokainen tuntematon saadaan kaavalla:
xᵢ = Dᵢ / D
Tässä D on kerroinmatriisin A determinantti ja Dᵢ on determinantti, joka saadaan korvaamalla matriisin A sarake i vakiotermivektorilla b. Menetelmä toimii, kun D ≠ 0.
2×2-yhtälöryhmä
Olkoon yhtälöryhmä:
a₁₁x + a₁₂y = b₁, a₂₁x + a₂₂y = b₂
Tällöin D = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁, ja ratkaisu on x = Dₓ / D ja y = D_y / D, missä Dₓ saadaan korvaamalla x-sarake vektorilla b ja D_y korvaamalla y-sarake.
Laskettu esimerkki: 2×2
Ratkaistaan ryhmä x + y = 5 ja 2x − y = 1.
- D = (1)(−1) − (1)(2) = −1 − 2 = −3
- Dₓ = det([[5, 1], [1, −1]]) = (5)(−1) − (1)(1) = −6, joten x = −6 / −3 = 2
- D_y = det([[1, 5], [2, 1]]) = (1)(1) − (5)(2) = −9, joten y = −9 / −3 = 3
Ratkaisu on x = 2 ja y = 3.
3×3-yhtälöryhmä
Kolmen tuntemattoman ryhmälle periaate on sama: lasketaan kerroinmatriisin determinantti D sekä kolme determinanttia Dₓ, D_y ja D_z, joissa kukin sarake on vuorollaan korvattu vakiotermivektorilla. Ratkaisut ovat x = Dₓ / D, y = D_y / D ja z = D_z / D.
Laskettu esimerkki: 3×3
Ratkaistaan ryhmä 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11 ja −2x + y + 2z = −3. Kerroinmatriisin determinantti on D = −1. Korvaamalla sarakkeet vuorollaan vektorilla b saadaan Dₓ = −2, D_y = −3 ja D_z = 1, joten:
x = −2/−1 = 2, y = −3/−1 = 3, z = 1/−1 = −1
Ratkaisu on siis x = 2, y = 3 ja z = −1.
Milloin ratkaisua ei ole?
Jos kerroinmatriisin determinantti D on nolla, yhtälöryhmällä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. Ryhmä on tällöin joko ristiriitainen (ei ratkaisua lainkaan) tai sillä on äärettömän monta ratkaisua. Cramerin sääntöä ei voi soveltaa, ja laskuri ilmoittaa tästä.
Cramerin säännön edut ja rajoitukset
- Etu: havainnollinen ja suoraviivainen pienille yhtälöryhmille.
- Etu: antaa yksittäisen tuntemattoman ilman koko ryhmän ratkaisemista.
- Rajoitus: raskas suurille ryhmille, koska vaatii monta determinanttia.
- Rajoitus: toimii vain, kun yhtälöitä ja tuntemattomia on yhtä monta ja D ≠ 0.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on Cramerin sääntö?
Cramerin sääntö on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseen determinanttien avulla. Kun yhtälöryhmä kirjoitetaan muodossa Ax = b, jokainen tuntematon saadaan kaavalla xᵢ = Dᵢ / D. Tässä D on kerroinmatriisin A determinantti ja Dᵢ on sama determinantti, mutta sarake i on korvattu vakiotermivektorilla b.
Milloin Cramerin sääntöä voi käyttää?
Cramerin sääntöä voi käyttää, kun yhtälöryhmässä on yhtä monta yhtälöä kuin tuntematonta (neliömatriisi) ja kun kerroinmatriisin determinantti D poikkeaa nollasta. Tällöin yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu. Jos D = 0, sääntöä ei voi soveltaa.
Mitä tarkoittaa, jos determinantti on nolla?
Jos kerroinmatriisin determinantti D on nolla, yhtälöryhmällä ei ole yksikäsitteistä ratkaisua. Tällöin yhtälöryhmä on joko ristiriitainen (ei ratkaisua) tai sillä on äärettömän monta ratkaisua. Cramerin sääntö ei toimi näissä tapauksissa, ja laskuri ilmoittaa siitä.
Miten yhtälöryhmä kirjoitetaan matriisimuotoon?
Yhtälöryhmän kertoimet muodostavat kerroinmatriisin A, tuntemattomat muodostavat vektorin x ja yhtälöiden oikeat puolet vakiotermivektorin b. Esimerkiksi ryhmä 2x + y = 5 ja 3x − y = 1 antaa matriisin A = [[2, 1], [3, −1]] ja vektorin b = [5, 1].
Onko Cramerin sääntö nopein tapa ratkaista yhtälöryhmä?
Pienille yhtälöryhmille (2×2 ja 3×3) Cramerin sääntö on kätevä ja havainnollinen. Suuremmille yhtälöryhmille se on laskennallisesti raskas, koska se vaatii useiden determinanttien laskemista. Tällöin käytetään yleensä Gaussin eliminointia tai matriisihajotelmia, jotka ovat tehokkaampia.
Oliko tästä laskurista apua?
