Käänteismatriisilaskuri
Valitse koko, syötä matriisin alkiot ruudukkoon ja lue käänteismatriisi oikealta. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
Käänteismatriisi
Laske 2×2- tai 3×3-matriisin inverssi eli käänteismatriisi Gauss–Jordan-menetelmällä – myös singulaarinen matriisi tunnistetaan.
Käänteismatriisilaskuri – laske matriisin inverssi
Tällä laskurilla lasket 2×2- ja 3×3-matriisin käänteismatriisin eli inverssin. Käänteismatriisi on lineaarialgebran keskeinen käsite, jota tarvitaan muun muassa yhtälöryhmien ratkaisemiseen ja muunnosten kumoamiseen. Syötä matriisin alkiot ruudukkoon, niin näet käänteismatriisin heti – tai ilmoituksen, jos matriisi on singulaarinen.
Mikä on käänteismatriisi?
Neliömatriisin A käänteismatriisi A⁻¹ on matriisi, jolla pätee:
A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I
missä I on yksikkömatriisi (lävistäjällä ykkösiä, muualla nollia). Käänteismatriisi vastaa luvun käänteislukua. Matriisilla on käänteismatriisi vain, jos sen determinantti poikkeaa nollasta.
2×2-matriisin käänteismatriisi
Kun matriisi on [[a, b], [c, d]], käänteismatriisi saadaan kaavalla:
A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]
Nimittäjä ad − bc on matriisin determinantti. Jos se on nolla, käänteismatriisia ei ole.
Laskettu esimerkki: 2×2
Lasketaan matriisin [[1, 2], [3, 4]] käänteismatriisi. Determinantti on 1·4 − 2·3 = −2, joten:
A⁻¹ = (1 / −2) · [[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [1,5, −0,5]]
Voit tarkistaa tuloksen kertomalla: A · A⁻¹ tuottaa yksikkömatriisin [[1, 0], [0, 1]].
Gauss–Jordan-menetelmä
Suuremmille matriiseille käänteismatriisi lasketaan Gauss–Jordan-eliminoinnilla. Matriisin viereen kirjoitetaan yksikkömatriisi, jolloin saadaan laajennettu matriisi:
[ A | I ] → rivioperaatiot → [ I | A⁻¹ ]
Riveille tehdään alkeismuunnoksia – rivien vaihtoa, rivin kertomista luvulla ja rivien yhteenlaskua – kunnes vasemmasta puolesta tulee yksikkömatriisi. Samat operaatiot oikealle puolelle muuttavat yksikkömatriisin käänteismatriisiksi. Laskuri käyttää osittaistuentaa eli valitsee suurimman tukialkion numeerisen tarkkuuden parantamiseksi.
Milloin käänteismatriisia ei ole?
Matriisi on singulaarinen, kun sen determinantti on nolla. Tällöin Gauss–Jordan-eliminoinnissa ei löydy tarvittavaa tukialkiota, eikä vasen puoli muutu yksikkömatriisiksi. Singulaarisella matriisilla ei ole käänteismatriisia, ja laskuri ilmoittaa tästä.
Pseudoinverssi
Tavallinen käänteismatriisi on määritelty vain kääntyville neliömatriiseille. Ei-neliömatriiseille ja singulaarisille tapauksille voidaan laskea pseudoinverssi (Moore–Penrosen yleistetty käänteismatriisi). Sitä käytetään esimerkiksi ylimääräytyneiden yhtälöryhmien pienimmän neliösumman ratkaisuissa. Tämä laskuri keskittyy neliömatriisin varsinaiseen käänteismatriisiin.
Mihin käänteismatriisia käytetään?
Käänteismatriisilla ratkaistaan lineaarisia yhtälöryhmiä muodossa x = A⁻¹b, kumotaan geometrisia muunnoksia, lasketaan regressiokertoimia tilastotieteessä ja käsitellään muunnoksia tietokonegrafiikassa. Käytännön suurissa laskuissa suositaan usein suoraa eliminointia tai hajotelmia tehokkuuden vuoksi.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on käänteismatriisi?
Matriisin A käänteismatriisi A⁻¹ on matriisi, jolla pätee A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, missä I on yksikkömatriisi. Käänteismatriisi vastaa luvun käänteislukua: aivan kuten 5 · (1/5) = 1, pätee A · A⁻¹ = I. Vain neliömatriiseilla, joiden determinantti poikkeaa nollasta, on käänteismatriisi.
Miten 2×2-matriisin käänteismatriisi lasketaan?
Kun matriisi on [[a, b], [c, d]], käänteismatriisi on (1/det)·[[d, −b], [−c, a]], missä det = ad − bc. Esimerkiksi matriisille [[1, 2], [3, 4]] determinantti on −2, joten inverssi on (1/−2)·[[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [1,5, −0,5]].
Mikä on Gauss–Jordan-menetelmä?
Gauss–Jordan-eliminointi on menetelmä käänteismatriisin laskemiseen. Matriisin viereen kirjoitetaan yksikkömatriisi, jolloin syntyy laajennettu matriisi [A | I]. Riveille tehdään alkeismuunnoksia, kunnes vasen puoli muuttuu yksikkömatriisiksi. Tällöin oikealle puolelle muodostuu käänteismatriisi: [I | A⁻¹]. Laskuri käyttää tätä menetelmää osittaistuennalla.
Miksi matriisilla ei aina ole käänteismatriisia?
Matriisilla on käänteismatriisi vain, jos sen determinantti poikkeaa nollasta. Jos determinantti on nolla, matriisi on singulaarinen: sen rivit ovat lineaarisesti riippuvia eikä eliminoinnissa löydy tarvittavaa tukialkiota. Tällöin laskuri ilmoittaa, että käänteismatriisia ei ole olemassa.
Entä ei-neliömatriisit ja pseudoinverssi?
Varsinainen käänteismatriisi on määritelty vain neliömatriiseille. Ei-neliömatriiseille voidaan laskea pseudoinverssi (Moore–Penrosen yleistetty käänteismatriisi), jota käytetään esimerkiksi pienimmän neliösumman ratkaisuissa. Tämä laskuri keskittyy neliömatriisien tavalliseen käänteismatriisiin.
Oliko tästä laskurista apua?
