Vektorilaskuri
Valitse ulottuvuus, syötä vektorien a ja b koordinaatit ja lue tulokset oikealta. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
Vektorit ja operaatiot
Laske kahden vektorin summa, erotus, pistetulo, pituudet ja niiden välinen kulma.
Vektorilaskuri – vektorien operaatiot helposti
Tällä laskurilla lasket kahden vektorin summan, erotuksen ja pistetulon sekä vektorien pituudet ja niiden välisen kulman. Laskuri toimii sekä 2D- (taso) että 3D-vektoreille (avaruus). Syötä vektorien koordinaatit, niin näet kaikki tulokset heti.
Mikä on vektori?
Vektori on suure, jolla on sekä suuruus että suunta. Sitä kuvataan koordinaateilla, esimerkiksi tasossa muodossa (a₁, a₂) ja avaruudessa muodossa (a₁, a₂, a₃). Vektoreita käytetään laajasti fysiikassa, geometriassa ja tietojenkäsittelyssä.
Yhteen- ja vähennyslasku
Vektorit lasketaan yhteen ja vähennetään komponenteittain:
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
Esimerkiksi (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9). Vähennyslaskussa vastaavat komponentit vähennetään: a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃).
Pistetulo
Pistetulo eli skalaaritulo tuottaa yksittäisen luvun ja lasketaan kertomalla vastinkomponentit ja laskemalla tulot yhteen:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Esimerkiksi (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Jos pistetulo on nolla, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Vektorin pituus
Vektorin pituus eli normi lasketaan Pythagoraan lauseen yleistyksellä:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Esimerkiksi vektorin (3, 4) pituus on √(9 + 16) = √25 = 5. Pituus kuvaa vektorin suuruutta riippumatta sen suunnasta.
Vektorien välinen kulma
Kahden vektorin välinen kulma θ saadaan pistetulon ja pituuksien avulla:
cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)
Kulma ratkaistaan ottamalla arkuskosini. Esimerkiksi vektorien (1, 2, 3) ja (4, 5, 6) välinen kulma on noin 12,9°. Jos pistetulo on nolla, kulma on 90°.
Vektorialgebran ominaisuuksia
- Yhteenlasku on vaihdannainen: a + b = b + a.
- Pistetulo on vaihdannainen: a · b = b · a.
- Kohtisuoruus: a · b = 0 tarkoittaa, että vektorit ovat kohtisuorassa.
- Skalaarilla kertominen: c · a venyttää tai kutistaa vektoria suuntaa muuttamatta (tai kääntää sen, jos c < 0).
Mihin vektorioperaatioita käytetään?
Vektoreita käytetään fysiikassa esimerkiksi voimien, nopeuksien ja kiihtyvyyksien kuvaamiseen, geometriassa suuntien ja etäisyyksien laskemiseen sekä tietokonegrafiikassa ja koneoppimisessa. Pistetulo ja kulman laskenta ovat keskeisiä työkaluja muun muassa projektioissa ja samankaltaisuuden mittaamisessa.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Miten vektorit lasketaan yhteen?
Vektorit lasketaan yhteen komponenteittain: a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃). Esimerkiksi (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9). Sama periaate koskee vähennyslaskua, jossa vastaavat komponentit vähennetään toisistaan.
Mikä on pistetulo?
Pistetulo (skalaaritulo) on kahden vektorin tulo, jonka tuloksena on yksittäinen luku. Se lasketaan kaavalla a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Esimerkiksi (1, 2, 3) · (4, 5, 6) = 4 + 10 + 18 = 32. Pistetulo on nolla täsmälleen silloin, kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Miten vektorin pituus lasketaan?
Vektorin pituus eli normi saadaan Pythagoraan lauseen yleistyksellä: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Esimerkiksi vektorin (3, 4) pituus on √(9 + 16) = √25 = 5. Pituus kuvaa vektorin suuruutta riippumatta sen suunnasta.
Miten vektorien välinen kulma lasketaan?
Kulma θ saadaan pistetulon ja pituuksien avulla: cos θ = (a · b) / (|a| · |b|). Kulma ratkaistaan ottamalla arkuskosini. Jos pistetulo on nolla, kulma on 90° eli vektorit ovat kohtisuorassa. Kulma ilmoitetaan tässä laskurissa asteina.
Mitä eroa on pistetulolla ja ristitulolla?
Pistetulon tulos on luku (skalaari), ja se kertoo muun muassa vektorien välisestä kulmasta ja projektiosta. Ristitulon tulos on vektori, joka on kohtisuorassa molempia vastaan, ja se on määritelty vain kolmiulotteisille vektoreille. Pistetulo toimii kaikissa ulottuvuuksissa.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Aste ↔ radiaaniLukujärjestelmät ja muunnoksetInverssi ja pseudoinverssiMatriisit ja lineaarialgebraKulmalaskut ja kolmion ominaisuudetGeometria ja muodotKulmat ja radiaanitTrigonometria ja hyperboliset funktiotMatriisien peruslaskutMatriisit ja lineaarialgebraRistitulo ja skalaariprojektioMatriisit ja lineaarialgebra
