Yhtälö ax² + bx + c = 0
Syötä yhtälön kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Esimerkki:
Diskriminanttilaskuri
Laske toisen asteen yhtälön diskriminantti D = b² − 4ac ja näe heti, kuinka monta reaalijuurta yhtälöllä on.
Tulokset
Diskriminanttilaskuri
Tämä laskuri laskee toisen asteen yhtälön ax² + bx + c = 0 diskriminantin ja kertoo sen perusteella, kuinka monta reaalijuurta yhtälöllä on. Diskriminantti on ratkaisukaavan keskeinen osa, ja sen avulla juurten laatu nähdään nopeasti.
Diskriminantin määritelmä
Diskriminantti on toisen asteen yhtälön kertoimista muodostettu luku:
D = b² − 4ac
Lauseke on sama kuin ratkaisukaavan x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) neliöjuuren sisältö. Koska neliöjuurta ei voi laskea negatiivisesta luvusta reaalilukuna, diskriminantin etumerkki ratkaisee juurten luonteen.
Juurten lukumäärä
Diskriminantin merkki kertoo juurten määrän ja laadun:
- D > 0: kaksi erillistä reaalijuurta. Paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä.
- D = 0: yksi kaksinkertainen reaalijuuri x = −b / (2a). Paraabeli sivuaa x-akselia.
- D < 0: ei reaalijuuria, vaan kaksi kompleksista liittojuurta. Paraabeli ei kosketa x-akselia.
Menetelmä
Diskriminantti lasketaan suoraan sijoittamalla kertoimet kaavaan:
- Tunnista yhtälön kertoimet a, b ja c muodossa ax² + bx + c = 0.
- Korota b neliöön: b².
- Laske tulo 4ac.
- Vähennä: D = b² − 4ac.
Vaiheittainen esimerkki
Tarkastellaan yhtälöä x² − 5x + 6 = 0, jossa a = 1, b = −5 ja c = 6.
D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Koska D = 1 > 0, yhtälöllä on kaksi erillistä reaalijuurta. Ne saadaan ratkaisukaavalla: x = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2, eli x = 3 ja x = 2.
Toinen esimerkki: kompleksiset juuret
Tarkastellaan yhtälöä x² + x + 1 = 0, jossa a = 1, b = 1 ja c = 1.
D = 1² − 4 · 1 · 1 = 1 − 4 = −3
Koska D < 0, reaalijuuria ei ole. Yhtälöllä on kaksi kompleksista liittojuurta.
Käyttökohteet
- Selvittää nopeasti, kannattaako ratkaisukaavaa lähteä laskemaan.
- Tutkia, leikkaako paraabeli y = ax² + bx + c x-akselin.
- Ratkaista, milloin yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu (D = 0).
- Määrittää parametrin arvoja niin, että juuria on haluttu määrä.
Diskriminantti lukion matematiikassa
Diskriminantti kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) keskeisiin käsitteisiin toisen asteen yhtälön yhteydessä. Sen avulla juurten lukumäärä päätellään ennen varsinaista ratkaisemista, ja se on tärkeä työkalu myös funktioiden ja epäyhtälöiden tutkimisessa.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on diskriminantti?
Diskriminantti on toisen asteen yhtälön ax² + bx + c = 0 ratkaisukaavan neliöjuuren alla oleva lauseke D = b² − 4ac. Sen merkki kertoo, kuinka monta reaalijuurta yhtälöllä on, ilman että koko ratkaisukaavaa täytyy laskea.
Miten diskriminantti lasketaan?
Korota kerroin b neliöön ja vähennä siitä neljä kertaa a kertaa c: D = b² − 4ac. Esimerkiksi yhtälölle 2x² + 3x − 2 = 0 saadaan D = 3² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.
Mitä diskriminantin merkki kertoo?
Kun D > 0, yhtälöllä on kaksi erillistä reaalijuurta. Kun D = 0, on yksi kaksinkertainen reaalijuuri. Kun D < 0, reaalijuuria ei ole vaan kaksi toistensa liittolukua olevaa kompleksijuurta.
Onko diskriminantti sama kuin yhtälön juuret?
Ei. Diskriminantti on yksi luku, joka kertoo juurten laadun ja lukumäärän. Itse juuret saadaan ratkaisukaavasta x = (−b ± √D) / (2a), jossa diskriminantti on neliöjuuren sisällä.
Mitä jos kerroin a on nolla?
Jos a = 0, kyseessä ei ole toisen asteen yhtälö, eikä diskriminanttia määritellä. Yhtälö on tällöin ensimmäisen asteen yhtälö bx + c = 0, jolla on yksi juuri x = −c / b.
Oliko tästä laskurista apua?