Funktio y = ax² + bx + c
Syötä funktion kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Esimerkki:
Paraabelilaskuri
Tutki paraabelia y = ax² + bx + c: laskuri näyttää huipun, symmetria-akselin, nollakohdat ja aukeamissuunnan.
Paraabelilaskuri
Tämä laskuri analysoi toisen asteen funktion y = ax² + bx + c kuvaajan eli paraabelin. Syötä kertoimet a, b ja c, niin näet huipun, symmetria-akselin, aukeamissuunnan, nollakohdat ja y-akselin leikkauspisteen.
Mikä on paraabeli?
Paraabeli on toisen asteen funktion y = ax² + bx + c kuvaaja, jossa a ≠ 0. Se on symmetrinen käyrä, jolla on yksi huippu eli ääriarvokohta. Paraabeli aukeaa ylös- tai alaspäin kertoimen a etumerkin mukaan.
Huippu ja symmetria-akseli
Paraabelin huippu on sen korkein tai matalin piste. Huipun koordinaatit saadaan kaavoilla:
x = −b / (2a), y = c − b² / (4a)
Huipun kautta kulkee pystysuora symmetria-akseli x = −b / (2a), jonka suhteen paraabeli on peilisymmetrinen.
Aukeamissuunta
- a > 0: paraabeli aukeaa ylöspäin, ja huippu on funktion minimi.
- a < 0: paraabeli aukeaa alaspäin, ja huippu on funktion maksimi.
Nollakohdat ja y-akselin leikkaus
Nollakohdat ovat paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet, ja ne ratkaistaan yhtälöstä ax² + bx + c = 0. Diskriminantti D = b² − 4ac kertoo niiden määrän. Y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla x = 0, jolloin y = c.
Vaiheittainen esimerkki
Tutkitaan paraabelia y = x² − 4x + 3, jossa a = 1, b = −4 ja c = 3.
x = −(−4) / (2 · 1) = 2
y = 3 − (−4)² / (4 · 1) = 3 − 4 = −1
Huippu on (2, −1) ja symmetria-akseli x = 2. Koska a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin. Nollakohdat: x² − 4x + 3 = 0 antaa x = 1 ja x = 3, ja y-akselin leikkauspiste on (0, 3).
Käyttökohteet
- Toisen asteen funktion ääriarvon eli suurimman tai pienimmän arvon määrittäminen.
- Heittoliikkeen radan tutkiminen fysiikassa.
- Optimointitehtävät, joissa etsitään maksimi- tai minimiarvoa.
- Paraabelin kuvaajan piirtäminen huipun ja nollakohtien avulla.
Paraabeli lukiossa
Paraabeli ja toisen asteen funktio kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) keskeisiin sisältöihin. Huippu, symmetria-akseli ja nollakohdat ovat funktion tutkimisen perustyökaluja, ja niitä sovelletaan myöhemmin myös derivaatan avulla tehtävässä ääriarvotarkastelussa.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Miten paraabelin huippu lasketaan?
Huipun x-koordinaatti on x = −b / (2a) ja y-koordinaatti saadaan sijoittamalla tämä funktioon tai kaavalla y = c − b² / (4a). Huippu on paraabelin ääriarvokohta: minimi kun a > 0 ja maksimi kun a < 0.
Mikä on symmetria-akseli?
Symmetria-akseli on pystysuora x = −b / (2a), joka kulkee huipun kautta. Paraabeli on peilisymmetrinen tämän suoran suhteen, joten akselin molemmin puolin olevat pisteet ovat toistensa peilikuvia.
Miten paraabelin nollakohdat löydetään?
Nollakohdat ovat paraabelin ja x-akselin leikkauspisteet, ja ne saadaan ratkaisemalla yhtälö ax² + bx + c = 0. Diskriminantti D = b² − 4ac kertoo nollakohtien määrän: kaksi kun D > 0, yksi kun D = 0 ja ei yhtään kun D < 0.
Aukeaako paraabeli ylös vai alas?
Aukeamissuunta riippuu kertoimesta a. Kun a > 0, paraabeli aukeaa ylöspäin ja huippu on alin piste (minimi). Kun a < 0, paraabeli aukeaa alaspäin ja huippu on ylin piste (maksimi).
Mistä näkee y-akselin leikkauspisteen?
Y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla x = 0, jolloin y = c. Paraabeli leikkaa y-akselin siis aina pisteessä (0, c), eli vakiotermin kohdalla.
Oliko tästä laskurista apua?
