Yhtälö ax³ + bx² + cx + d = 0
Syötä yhtälön kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Esimerkki:
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija
Ratkaise kolmannen asteen yhtälö ax³ + bx² + cx + d = 0 ja näe sen reaalijuuret.
Tulokset
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija
Tämä laskuri ratkaisee kolmannen asteen yhtälön ax³ + bx² + cx + d = 0 reaalijuuret. Syötä kertoimet a, b, c ja d, niin näet kaikki reaaliset ratkaisut ja niiden lukumäärän.
Mikä on kolmannen asteen yhtälö?
Kolmannen asteen eli kuutiollinen yhtälö on muotoa ax³ + bx² + cx + d = 0, jossa a ≠ 0. Sen kuvaaja on kolmannen asteen käyrä, joka leikkaa x-akselin yhdestä kolmeen kertaan. Siksi reaalijuuria on aina vähintään yksi ja enintään kolme.
Ratkaisumenetelmä
Yhtälö muutetaan ensin yksikkömuotoiseksi jakamalla kertoimella a, ja sen jälkeen vajaaseen muotoon sijoituksella x = t − b / (3a):
t³ + pt + q = 0
Tässä p ja q lasketaan alkuperäisistä kertoimista. Juurten luonteen ratkaisee tunnusluku:
Δ = q² / 4 + p³ / 27
- Δ > 0: yksi reaalijuuri (Cardanon kaava) ja kaksi kompleksista juurta.
- Δ = 0: kaksi reaalijuurta, joista toinen on kaksinkertainen (tai kolminkertainen juuri).
- Δ < 0: kolme erillistä reaalijuurta, jotka saadaan trigonometrisellä kaavalla.
Vaiheittainen esimerkki
Ratkaistaan yhtälö x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, jossa a = 1, b = −6, c = 11 ja d = −6.
Vakiotermin −6 tekijöistä kokeillaan x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0, joten x = 1 on juuri. Jakamalla tekijällä (x − 1) jää x² − 5x + 6, jonka juuret ovat 2 ja 3.
Yhtälön reaalijuuret ovat siis x = 1, x = 2 ja x = 3.
Kokonaislukujuurten kokeileminen
Kun kertoimet ovat kokonaislukuja, mahdolliset kokonaislukujuuret ovat vakiotermin d tekijöitä. Tämä rationaalijuurilause nopeuttaa ratkaisemista käsin: kokeile vakiotermin tekijöitä, ja kun yksi juuri löytyy, pelkistä yhtälö toisen asteen yhtälöksi jakokulmalla.
Käyttökohteet
- Polynomifunktion nollakohtien määrittäminen.
- Tilavuus- ja geometriatehtävät, joissa muuttuja esiintyy kolmannessa potenssissa.
- Fysiikan ja kemian mallit, joissa esiintyy kuutiollinen riippuvuus.
- Käyrän ja suoran leikkauspisteiden ratkaiseminen.
Kolmannen asteen yhtälö lukiossa
Kolmannen asteen yhtälöt kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) polynomifunktioiden kurssiin. Lukiossa juuret etsitään yleensä rationaalijuurilauseen ja jakokulman avulla, kun taas tämä laskuri käyttää yleistä Cardanon ja trigonometrisen kaavan menetelmää, joka toimii kaikilla kertoimilla.
Usein kysytyt kysymykset
Kuinka monta juurta kolmannen asteen yhtälöllä on?
Kolmannen asteen yhtälöllä on aina vähintään yksi reaalijuuri, koska parittoman asteen polynomi saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Reaalijuuria voi olla yksi, kaksi (kun toinen on kaksinkertainen) tai kolme. Kompleksiset juuret esiintyvät aina pareittain.
Miten kolmannen asteen yhtälö ratkaistaan?
Yhtälö muutetaan ensin vajaaseen muotoon t³ + pt + q = 0 sijoituksella x = t − b / (3a). Sen jälkeen reaalijuuret saadaan joko Cardanon kaavalla tai, jos juuria on kolme, trigonometrisellä kaavalla kosinin avulla.
Onko kolmannen asteen yhtälöllä aina reaalijuuri?
Kyllä. Parittoman asteen polynomin arvot kulkevat miinus äärettömästä plus äärettömään, joten kuvaaja leikkaa x-akselin ainakin kerran. Siksi vähintään yksi reaalijuuri on aina olemassa.
Voiko juuret löytää kokeilemalla?
Usein kyllä. Jos kertoimet ovat kokonaislukuja, kokonaislukujuuret ovat vakiotermin tekijöitä. Kun yksi juuri löytyy, polynomi voidaan jakaa tekijään (x − juuri) ja loput juuret saadaan toisen asteen yhtälöstä.
Mitä jos kerroin a on nolla?
Jos a = 0, yhtälö ei ole kolmannen asteen yhtälö vaan toisen asteen yhtälö bx² + cx + d = 0. Laskuri ratkaisee tällöin yhtälön toisen asteen ratkaisukaavalla.
Oliko tästä laskurista apua?