Keskipiste ja säde
Syötä keskipisteen koordinaatit (a, b) ja säde r. Koordinaatit voivat olla myös negatiivisia.
Ympyrän yhtälö -laskuri
Muodosta ympyrän yhtälö keskipisteestä ja säteestä: (x − a)² + (y − b)² = r².
Ympyrän yhtälö -laskuri
Tämä laskuri muodostaa ympyrän yhtälön, kun tunnetaan keskipiste ja säde. Tulokseksi saadaan sekä normaalimuoto että yleinen muoto, ja lisäksi ympyrän piiri ja pinta-ala.
Mikä ympyrän yhtälö on?
Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat saman etäisyyden eli säteen r päässä keskipisteestä (a, b). Tämä ehto kirjoitetaan etäisyyskaavalla, mistä syntyy ympyrän normaalimuotoinen yhtälö:
(x − a)² + (y − b)² = r²
Tässä (a, b) on keskipiste ja r on säde. Yhtälö pohjautuu suoraan Pythagoraan lauseeseen: piste (x, y) kuuluu ympyrälle, jos sen etäisyys keskipisteestä on tarkalleen r.
Origokeskinen ympyrä
Kun keskipiste on origossa (0, 0), yhtälö sievenee yksinkertaiseen muotoon:
x² + y² = r²
Esimerkiksi yksikköympyrän, jonka säde on 1, yhtälö on x² + y² = 1.
Yleinen muoto
Kun normaalimuoto kerrotaan auki, saadaan ympyrän yleinen muoto:
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Kertoimet liittyvät keskipisteeseen ja säteeseen seuraavasti:
D = −2a, E = −2b, F = a² + b² − r²
Yleisestä muodosta keskipiste ja säde löytyvät täydentämällä neliöt takaisin normaalimuotoon.
Vaiheittainen esimerkki
Muodostetaan ympyrän yhtälö, kun keskipiste on (2, −1) ja säde r = 5.
Sijoitetaan arvot normaalimuotoon. Huomaa, että b = −1, joten (y − (−1)) = (y + 1):
(x − 2)² + (y + 1)² = 25
Kerrotaan auki yleiseen muotoon. Tässä D = −2·2 = −4, E = −2·(−1) = 2 ja F = 2² + (−1)² − 25 = 4 + 1 − 25 = −20:
x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0
Merkkien huomioiminen
Yhtälön sulkeiden merkit ovat keskipisteen koordinaattien vastalukuja. Jos yhtälössä lukee (x + 3)², keskipisteen x-koordinaatti on −3. Tämä on yleinen virhelähde: sulkujen sisällä oleva merkki ei ole suoraan keskipisteen koordinaatti, vaan sen vastaluku.
Piiri ja pinta-ala
Kun säde tunnetaan, ympyrän piiri ja pinta-ala saadaan tutuilla kaavoilla:
piiri = 2 · π · r | pinta-ala = π · r²
Ympyrän yhtälö koulussa
Ympyrän yhtälö kuuluu lukion analyyttiseen geometriaan, jossa kuvioita käsitellään koordinaatiston avulla. Aihetta sovelletaan muun muassa suoran ja ympyrän leikkauspisteiden ratkaisemiseen sekä etäisyys- ja tangenttitehtäviin. Pohjana on Pythagoraan lause ja kahden pisteen välisen etäisyyden kaava.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on ympyrän yhtälö?
Ympyrän yhtälö kuvaa kaikki tason pisteet, jotka ovat säteen r etäisyydellä keskipisteestä (a, b). Normaalimuodossa se on (x − a)² + (y − b)² = r². Yhtälö perustuu suoraan etäisyyskaavaan eli Pythagoraan lauseeseen.
Mikä on ympyrän yhtälön yleinen muoto?
Yleinen muoto on x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Se saadaan kertomalla normaalimuoto auki, jolloin D = −2a, E = −2b ja F = a² + b² − r². Yleisestä muodosta keskipiste ja säde löytyvät täydentämällä neliöt.
Miten keskipiste ja säde luetaan yhtälöstä?
Normaalimuodosta (x − a)² + (y − b)² = r² keskipiste on (a, b) ja säde on r eli yhtälön oikean puolen neliöjuuri. Huomaa merkit: jos yhtälössä lukee (x + 3)², keskipisteen x-koordinaatti on −3.
Miltä origokeskisen ympyrän yhtälö näyttää?
Jos keskipiste on origossa (0, 0), yhtälö yksinkertaistuu muotoon x² + y² = r². Esimerkiksi yksikköympyrän (säde 1) yhtälö on x² + y² = 1.
Mihin ympyrän yhtälöä käytetään?
Ympyrän yhtälöä käytetään analyyttisessä geometriassa kuvaamaan ympyröitä koordinaatistossa, ratkaisemaan suoran ja ympyrän leikkauspisteitä sekä tutkimaan etäisyyksiä. Se on lukion pitkän matematiikan geometrian peruskäsitteitä.
Oliko tästä laskurista apua?
