Ympyrän yhtälö -laskuri

Muodosta ympyrän yhtälö keskipisteestä ja säteestä: (x − a)² + (y − b)² = r².

Keskipiste ja säde

Syötä keskipisteen koordinaatit (a, b) ja säde r. Koordinaatit voivat olla myös negatiivisia.

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Ympyrän yhtälö -laskuri

    Tämä laskuri muodostaa ympyrän yhtälön, kun tunnetaan keskipiste ja säde. Tulokseksi saadaan sekä normaalimuoto että yleinen muoto, ja lisäksi ympyrän piiri ja pinta-ala.

    Mikä ympyrän yhtälö on?

    Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat saman etäisyyden eli säteen r päässä keskipisteestä (a, b). Tämä ehto kirjoitetaan etäisyyskaavalla, mistä syntyy ympyrän normaalimuotoinen yhtälö:

    (x − a)² + (y − b)² = r²

    Tässä (a, b) on keskipiste ja r on säde. Yhtälö pohjautuu suoraan Pythagoraan lauseeseen: piste (x, y) kuuluu ympyrälle, jos sen etäisyys keskipisteestä on tarkalleen r.

    Origokeskinen ympyrä

    Kun keskipiste on origossa (0, 0), yhtälö sievenee yksinkertaiseen muotoon:

    x² + y² = r²

    Esimerkiksi yksikköympyrän, jonka säde on 1, yhtälö on x² + y² = 1.

    Yleinen muoto

    Kun normaalimuoto kerrotaan auki, saadaan ympyrän yleinen muoto:

    x² + y² + Dx + Ey + F = 0

    Kertoimet liittyvät keskipisteeseen ja säteeseen seuraavasti:

    D = −2a,  E = −2b,  F = a² + b² − r²

    Yleisestä muodosta keskipiste ja säde löytyvät täydentämällä neliöt takaisin normaalimuotoon.

    Vaiheittainen esimerkki

    Muodostetaan ympyrän yhtälö, kun keskipiste on (2, −1) ja säde r = 5.

    Sijoitetaan arvot normaalimuotoon. Huomaa, että b = −1, joten (y − (−1)) = (y + 1):

    (x − 2)² + (y + 1)² = 25

    Kerrotaan auki yleiseen muotoon. Tässä D = −2·2 = −4, E = −2·(−1) = 2 ja F = 2² + (−1)² − 25 = 4 + 1 − 25 = −20:

    x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0

    Merkkien huomioiminen

    Yhtälön sulkeiden merkit ovat keskipisteen koordinaattien vastalukuja. Jos yhtälössä lukee (x + 3)², keskipisteen x-koordinaatti on −3. Tämä on yleinen virhelähde: sulkujen sisällä oleva merkki ei ole suoraan keskipisteen koordinaatti, vaan sen vastaluku.

    Piiri ja pinta-ala

    Kun säde tunnetaan, ympyrän piiri ja pinta-ala saadaan tutuilla kaavoilla:

    piiri = 2 · π · r  |  pinta-ala = π · r²

    Ympyrän yhtälö koulussa

    Ympyrän yhtälö kuuluu lukion analyyttiseen geometriaan, jossa kuvioita käsitellään koordinaatiston avulla. Aihetta sovelletaan muun muassa suoran ja ympyrän leikkauspisteiden ratkaisemiseen sekä etäisyys- ja tangenttitehtäviin. Pohjana on Pythagoraan lause ja kahden pisteen välisen etäisyyden kaava.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mikä on ympyrän yhtälö?
    Ympyrän yhtälö kuvaa kaikki tason pisteet, jotka ovat säteen r etäisyydellä keskipisteestä (a, b). Normaalimuodossa se on (x − a)² + (y − b)² = r². Yhtälö perustuu suoraan etäisyyskaavaan eli Pythagoraan lauseeseen.
    Mikä on ympyrän yhtälön yleinen muoto?
    Yleinen muoto on x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Se saadaan kertomalla normaalimuoto auki, jolloin D = −2a, E = −2b ja F = a² + b² − r². Yleisestä muodosta keskipiste ja säde löytyvät täydentämällä neliöt.
    Miten keskipiste ja säde luetaan yhtälöstä?
    Normaalimuodosta (x − a)² + (y − b)² = r² keskipiste on (a, b) ja säde on r eli yhtälön oikean puolen neliöjuuri. Huomaa merkit: jos yhtälössä lukee (x + 3)², keskipisteen x-koordinaatti on −3.
    Miltä origokeskisen ympyrän yhtälö näyttää?
    Jos keskipiste on origossa (0, 0), yhtälö yksinkertaistuu muotoon x² + y² = r². Esimerkiksi yksikköympyrän (säde 1) yhtälö on x² + y² = 1.
    Mihin ympyrän yhtälöä käytetään?
    Ympyrän yhtälöä käytetään analyyttisessä geometriassa kuvaamaan ympyröitä koordinaatistossa, ratkaisemaan suoran ja ympyrän leikkauspisteitä sekä tutkimaan etäisyyksiä. Se on lukion pitkän matematiikan geometrian peruskäsitteitä.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    Kolmannen asteen yhtälöArrheniuksen yhtälö -laskuriMassaprosenttilaskuriMassaprosentti molaarisuudeksiTasapainovakiolaskuriGibbsin energia -laskuriProsenttiyksikkölaskuriKaltevuusprosentti

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI