Keskuskappale ja rata
Valitse keskuskappale tai syötä sen massa. Anna radan isoakselin puolikas ja valitse yksikkö. Laskuri laskee kiertoajan Keplerin kolmannen lain mukaan.
Keplerin kolmannen lain laskuri
Laske kiertävän kappaleen kiertoaika isoakselin puolikkaasta ja keskuskappaleen massasta Keplerin kolmannen lain avulla.
Tulokset
Keplerin kolmannen lain laskuri – kiertoaika
Keplerin kolmannen lain laskurilla selvität kiertävän kappaleen kiertoajan, kun tiedät radan koon ja keskuskappaleen massan. Laskuri laskee kiertoajan sekunteina, vuorokausina ja vuosina sekä näyttää Keplerin vakion. Se sopii tähtitieteen ja ratamekaniikan tehtäviin sekä satelliittiratojen tarkasteluun.
Mitä Keplerin kolmas laki tarkoittaa?
Johannes Keplerin kolmas laki kertoo, että mitä kauempana kappale kiertää keskuskappalettaan, sitä pidempi on sen kiertoaika. Tarkemmin: kiertoajan neliö on suoraan verrannollinen radan isoakselin puolikkaan kuutioon. Newton johti lain gravitaatioteoriastaan ja liitti siihen keskuskappaleen massan.
Lain kaava
Newtonin muodossa Keplerin kolmas laki on:
T² = 4π²·a³ / (G·M) ⟹ T = 2π·√(a³ / (G·M))
Tässä T on kiertoaika, a on radan isoakselin puolikas, M on keskuskappaleen massa ja G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²/kg² on gravitaatiovakio.
Esimerkki: Maan rata Auringon ympäri, a ≈ 1,496·10¹¹ m ja M = 1,989·10³⁰ kg, antaa kiertoajaksi noin 1 vuoden.
Suhdemuoto kahdelle radalle
Jos kaksi kappaletta kiertää samaa keskuskappaletta, niiden kiertoajat ja radat liittyvät toisiinsa:
T₁² / a₁³ = T₂² / a₂³ ⟹ T₂ = T₁·(a₂/a₁)^(3/2)
Tällöin keskuskappaleen massaa ei tarvitse tietää. Esimerkiksi Maan kiertoaika on 1 vuosi etäisyydellä 1 AU, joten Marsille (a ≈ 1,524 AU) saadaan T ≈ 1,524^1,5 ≈ 1,88 vuotta.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan geostationaarisen satelliitin kiertoaika Maan ympäri. Radan säde a = 42 164 km = 4,2164·10⁷ m ja Maan massa M = 5,972·10²⁴ kg:
- a³ = (4,2164·10⁷)³ ≈ 7,50·10²² m³.
- G·M = 6,674·10⁻¹¹ · 5,972·10²⁴ ≈ 3,986·10¹⁴ m³/s².
- T = 2π·√(7,50·10²² / 3,986·10¹⁴) ≈ 86 160 s eli noin 23 h 56 min.
- Tulos vastaa yhtä tähtivuorokautta, kuten geostationaarisella radalla kuuluukin.
Yksiköt
SI-laskennassa isoakseli annetaan metreinä ja massa kilogrammoina, jolloin kiertoaika saadaan sekunteina. Tähtitieteessä käytetään usein käytännöllisempiä yksiköitä: astronomista yksikköä (AU) etäisyydelle ja vuotta ajalle. Laskuri muuntaa syöttämäsi yksiköt automaattisesti.
Yleisiä virheitä
- Säde vs. isoakseli: ellipsiradalla käytetään isoakselin puolikasta, ei hetkellistä etäisyyttä. Ympyräradalla a on radan säde.
- Yksiköiden sekoittaminen: jos a annetaan kilometreinä, se on muunnettava metreiksi ennen SI-laskua. Laskuri hoitaa muunnoksen valitun yksikön mukaan.
- Väärä keskuskappale: kiertoaika riippuu keskuskappaleen massasta. Auringon ja Maan ympäri kiertäville kappaleille käytetään eri massaa.
Missä Keplerin lakia tarvitaan?
Keplerin kolmas laki on keskeinen lukion fysiikan gravitaation ja ratamekaniikan aiheissa. Sitä sovelletaan satelliittien ratojen suunnittelussa, planeettojen ja kuiden liikkeen tutkimisessa sekä eksoplaneettojen etäisyyksien määrittämisessä. Yhdessä gravitaatiolain kanssa se on perusta koko taivaanmekaniikalle.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä Keplerin kolmas laki sanoo?
Keplerin kolmannen lain mukaan kiertoajan neliö on verrannollinen radan isoakselin puolikkaan kuutioon: T² ∝ a³. Newtonin tarkennetussa muodossa T² = 4π²·a³ / (G·M), jossa G on gravitaatiovakio ja M keskuskappaleen massa. Laki pätee kaikille saman keskuskappaleen ympäri kiertäville kappaleille.
Mikä on isoakselin puolikas a?
Isoakselin puolikas a on ellipsiradan pisimmän halkaisijan puolikas. Ympyräradalla se on yksinkertaisesti radan säde. Aurinkokunnassa planeettojen etäisyydet ilmoitetaan usein astronomisina yksiköinä (AU), jossa 1 AU ≈ 1,496·10¹¹ m on Maan keskietäisyys Auringosta.
Miten lasken kiertoajan, jos tiedän jo toisen radan?
Saman keskuskappaleen kahdelle radalle pätee T₁²/a₁³ = T₂²/a₂³. Tästä T₂ = T₁·(a₂/a₁)^(3/2). Esimerkiksi Maan kiertoaika on 1 vuosi etäisyydellä 1 AU; Marsille (a ≈ 1,524 AU) saadaan T = 1·1,524^1,5 ≈ 1,88 vuotta. Tällöin keskuskappaleen massaa ei tarvita.
Riippuuko kiertoaika kiertävän kappaleen massasta?
Ei merkittävästi, kun kiertävä kappale on paljon keskuskappaletta kevyempi. Kiertoaika riippuu vain isoakselista ja keskuskappaleen massasta. Esimerkiksi kevyt satelliitti ja raskas kuu samalla radalla Maan ympäri kiertävät yhtä kauan. Hyvin suurilla massoilla käytetään massojen summaa M₁ + M₂.
Toimiiko laki muillakin kuin aurinkokunnan kappaleilla?
Kyllä. Sama laki pätee Maata kiertäville satelliiteille, planeettojen kuille ja tähtien ympäri kiertäville eksoplaneetoille – vain keskuskappaleen massa M vaihtuu. Esimerkiksi geostationaarisen satelliitin rata (a ≈ 42 164 km) tuottaa kiertoajaksi yhden tähtivuorokauden, noin 23 h 56 min.
Oliko tästä laskurista apua?