Jaettava P(x)
Kertoimet korkeimmasta asteesta alkaen, eroteltuna välilyönnein tai pilkuin. Muista nollat puuttuville termeille.
Jakaja D(x)
Esimerkki:
Polynomien jakolasku -laskuri
Jaa polynomi toisella polynomilla jakokulmassa. Laskuri näyttää osamäärän ja jäännöksen.
Polynomien jakolasku -laskuri
Tämä laskuri jakaa polynomin toisella polynomilla jakokulmassa ja antaa osamäärän sekä jäännöksen. Syötä jaettavan ja jakajan kertoimet korkeimmasta asteesta alkaen, niin näet tuloksen heti.
Mitä polynomien jakolasku on?
Polynomien jakolasku vastaa kokonaislukujen jakokulmaa. Jaettavalle P(x) ja jakajalle D(x) etsitään osamäärä Q(x) ja jäännös R(x) niin, että:
P(x) = Q(x) · D(x) + R(x), deg R < deg D
Jäännöksen aste on aina pienempi kuin jakajan aste. Jos jäännös on nolla, jakaja on jaettavan tekijä.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Jaa jaettavan korkein termi jakajan korkeimmalla termillä — saat osamäärän ensimmäisen termin.
- Kerro koko jakaja tällä termillä ja vähennä tulo jaettavasta.
- Toista jakovaihe jäljelle jäävälle polynomille.
- Lopeta, kun jäljelle jäävän polynomin aste on jakajaa pienempi — se on jäännös.
Vaiheittainen esimerkki
Jaetaan x³ − 1 jakajalla x − 1. Syötetään kertoimet 1 0 0 −1 ja 1 −1.
x³ : x = x². Kerrotaan: x²(x − 1) = x³ − x². Vähennetään: (x³ − 1) − (x³ − x²) = x² − 1.
x² : x = x. Kerrotaan: x(x − 1) = x² − x. Vähennetään: (x² − 1) − (x² − x) = x − 1.
x : x = 1. Kerrotaan: 1(x − 1) = x − 1. Vähennetään: 0.
Osamäärä on x² + x + 1 ja jäännös 0. Siis x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).
Esimerkki, jossa jää jäännös
Jaetaan 2x³ + 3x² − x + 5 jakajalla x² + 1. Tulos on osamäärä 2x + 3 ja jäännös −3x + 2, eli P(x) = (2x + 3)(x² + 1) + (−3x + 2).
Käyttökohteet
- Polynomin tekijöihinjako, kun yksi nollakohta tunnetaan.
- Korkeamman asteen yhtälöiden ratkaiseminen pelkistämällä.
- Rationaalifunktioiden sieventäminen ja osamurtokehitelmät.
- Jakojäännöksen avulla tehtävät tarkastelut (jäännöslause).
Polynomien jakolasku lukiossa
Polynomien jakolasku kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) polynomifunktioiden kurssiin. Se on perusta tekijälauseelle ja jäännöslauseelle, ja sitä tarvitaan korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemisessa sekä rationaalifunktioiden käsittelyssä.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Miten polynomien jakolasku tehdään?
Polynomit jaetaan jakokulmassa kuten kokonaisluvut. Jaetaan jaettavan korkein termi jakajan korkeimmalla termillä, kerrotaan saadulla osamäärän termillä koko jakaja, vähennetään tulo jaettavasta ja toistetaan, kunnes jäljelle jäävän polynomin aste on jakajaa pienempi.
Mitä osamäärä ja jäännös tarkoittavat?
Jakolaskun tulos on osamäärä Q(x) ja jäännös R(x), joille pätee P(x) = Q(x)·D(x) + R(x). Jäännöksen aste on aina pienempi kuin jakajan aste. Jos jäännös on nolla, jakaja on jaettavan tekijä.
Miten kertoimet syötetään?
Kirjoita kertoimet korkeimmasta asteesta alkaen välilyönnein tai pilkuin eroteltuna. Muista nollat puuttuvien termien kohdalle: esimerkiksi x³ − 1 syötetään muodossa 1 0 0 −1.
Mihin polynomien jakolaskua käytetään?
Sitä käytetään polynomin tekijöihinjaossa, nollakohtien etsimisessä, rationaalifunktioiden sieventämisessä ja osamurtokehitelmissä. Kun yksi nollakohta tunnetaan, jakokulmalla saadaan jäljelle jäävä polynomi.
Mitä jos jaettavan aste on jakajaa pienempi?
Silloin osamäärä on nolla ja koko jaettava jää jäännökseksi. Jakolaskua ei voi viedä pidemmälle, koska jaettavan korkein aste on jo jakajaa pienempi.
Oliko tästä laskurista apua?
