Jaettava P(x)
Kertoimet korkeimmasta asteesta alkaen, eroteltuna välilyönnein tai pilkuin. Muista nollat puuttuville termeille.
Jakaja (x − a)
Syötä luku a. Jakajalle (x + a) käytä negatiivista arvoa.
Esimerkki:
Synteettinen jakolasku -laskuri
Jaa polynomi tekijällä (x − a) synteettisellä jakolaskulla. Laskuri näyttää osamäärän kertoimet ja jäännöksen.
Tulokset
Synteettinen jakolasku -laskuri
Tämä laskuri jakaa polynomin ensimmäisen asteen tekijällä (x − a) synteettisellä jakolaskulla eli Horner-kaaviolla. Tulokseksi saadaan osamäärän kertoimet ja jäännös, joka jäännöslauseen nojalla on sama kuin polynomin arvo P(a).
Mitä synteettinen jakolasku on?
Synteettinen jakolasku on jakokulman lyhennetty muoto, joka toimii nimenomaan ensimmäisen asteen jakajalla (x − a). Koska laskussa käsitellään vain kertoimia, se on käytännössä nopein tapa jakaa polynomi tällaisella tekijällä.
Menetelmä
Olkoot jaettavan kertoimet korkeimmasta asteesta alkaen c₀, c₁, …, cₙ. Synteettinen jakolasku etenee Horner-kaavalla:
b₀ = c₀, bᵢ = cᵢ + a · bᵢ₋₁
Arvot b₀, b₁, …, bₙ₋₁ ovat osamäärän kertoimet ja viimeinen arvo bₙ on jäännös.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Tuo alas korkein kerroin c₀ sellaisenaan.
- Kerro saatu arvo luvulla a ja lisää tulos seuraavaan kertoimeen.
- Toista, kunnes kaikki kertoimet on käyty läpi.
- Viimeinen luku on jäännös, muut ovat osamäärän kertoimet (aste yhtä pienempi kuin jaettavan).
Vaiheittainen esimerkki
Jaetaan x² − 5x + 6 tekijällä (x − 2). Kertoimet ovat 1, −5, 6 ja a = 2.
b₀ = 1
b₁ = −5 + 2 · 1 = −3
b₂ = 6 + 2 · (−3) = 0
Osamäärä on siis x − 3 ja jäännös 0. Koska jäännös on nolla, (x − 2) on tekijä ja x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Jäännöslause
Synteettisen jakolaskun jäännös on sama kuin polynomin arvo kohdassa x = a:
P(x) = (x − a) · Q(x) + P(a)
Tämä tarjoaa nopean tavan laskea P(a) ja tarkistaa, onko a polynomin nollakohta.
Käyttökohteet
- Polynomin tekijöihinjako, kun yksi nollakohta tunnetaan.
- Polynomin arvon P(a) nopea laskeminen Horner-menetelmällä.
- Korkeamman asteen yhtälöiden pelkistäminen alemmaksi asteeksi.
- Nollakohtien etsiminen kokeilemalla tekijöitä (x − a).
Synteettinen jakolasku lukiossa
Synteettinen jakolasku ja jäännöslause kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) polynomifunktioiden käsittelyyn. Niitä käytetään tekijälauseen yhteydessä ja korkeamman asteen polynomiyhtälöiden ratkaisemisessa, kun yksi juuri on jo löydetty.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on synteettinen jakolasku?
Synteettinen jakolasku on lyhennetty tapa jakaa polynomi ensimmäisen asteen tekijällä (x − a). Se käyttää vain kertoimia, joten se on nopeampi ja vähemmän virhealtis kuin jakokulma, kun jakajana on (x − a).
Miten synteettinen jakolasku tehdään?
Kirjoita kertoimet korkeimmasta asteesta alkaen ja tuo alas ensimmäinen kerroin sellaisenaan. Kerro se a:lla, lisää tulos seuraavaan kertoimeen ja jatka samoin loppuun asti. Viimeinen luku on jäännös ja muut ovat osamäärän kertoimet.
Mikä yhteys jäännöksellä ja P(a):lla on?
Jäännöslauseen mukaan polynomin P(x) jakojäännös tekijällä (x − a) on täsmälleen P(a). Synteettisen jakolaskun viimeinen luku on siis sama kuin polynomin arvo kohdassa x = a, mikä antaa nopean tavan laskea P(a).
Miten näen, onko (x − a) tekijä?
Jos synteettisen jakolaskun jäännös on nolla, niin P(a) = 0 ja (x − a) on polynomin tekijä. Tällöin osamäärä on alkuperäisen polynomin tekijöihinjaon toinen tekijä.
Miten jaan tekijällä (x + a)?
Tekijä (x + a) on sama kuin (x − (−a)), joten syötä luvuksi a negatiivinen arvo. Esimerkiksi jaettaessa tekijällä (x + 3) käytä a = −3.
Oliko tästä laskurista apua?