Piste 1 (x₁, y₁)
Piste 2 (x₂, y₂)
Esimerkki:
Pisteiden välinen etäisyys -laskuri
Laske pisteiden välinen etäisyys koordinaatistossa. Näet myös janan keskipisteen sekä x- ja y-suuntaiset erot.
Tulokset
Pisteiden välinen etäisyys -laskuri
Tämä laskuri laskee kahden pisteen välisen etäisyyden tasokoordinaatistossa. Etäisyyskaava on analyyttisen geometrian perustyökalu ja seuraa suoraan Pythagoraan lauseesta.
Etäisyyden kaava
Kun pisteet ovat (x₁, y₁) ja (x₂, y₂), niiden välinen etäisyys on:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Lasketaan siis koordinaattien erotukset, korotetaan ne neliöön, lasketaan yhteen ja otetaan neliöjuuri.
Miksi kaava toimii?
Piirretään pisteiden välille jana. Tämä jana on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetit ovat vaakasuora ero (x₂ − x₁) ja pystysuora ero (y₂ − y₁). Pythagoraan lauseen mukaan hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa:
d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
Ottamalla neliöjuuri saadaan itse etäisyys. Etäisyyskaava on siis Pythagoraan lause koordinaatistossa.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan pisteiden (1, 2) ja (4, 6) välinen etäisyys:
x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3
y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4
d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Pisteiden etäisyys on siis tasan 5. Tämä on tuttu Pythagoraan kolmikko 3, 4, 5.
Erotusten järjestys ei vaikuta
Koska erotukset korotetaan neliöön, niiden etumerkki ei vaikuta tulokseen:
(x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)²
Etäisyys on aina ei-negatiivinen ja sama kummasta pisteestä tahansa mitattuna.
Janan keskipiste
Samalla kahdella pisteellä voi laskea myös janan keskipisteen, joka on koordinaattien keskiarvo:
keskipiste = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
Esimerkiksi pisteiden (1, 2) ja (4, 6) keskipiste on (2,5; 4).
Erikoistapaukset
- Sama x-koordinaatti: pisteet ovat samalla pystysuoralla, ja etäisyys on |y₂ − y₁|.
- Sama y-koordinaatti: pisteet ovat samalla vaakasuoralla, ja etäisyys on |x₂ − x₁|.
- Samat pisteet: etäisyys on 0.
Käyttökohteet
- Janan pituuden määrittäminen koordinaateista.
- Ympyrän yhtälö: piste on ympyrällä, kun sen etäisyys keskipisteestä on säde.
- Kolmion sivujen pituudet, kun kärkien koordinaatit tunnetaan.
- Vektorin pituus, kun vektori on pisteestä toiseen.
Pisteiden etäisyys koulussa
Etäisyyskaava opitaan lukion analyyttisen geometrian yhteydessä, sekä pitkässä (MAA) että lyhyessä (MAB) matematiikassa. Aihe rakentuu yläkoulussa opitun Pythagoraan lauseen päälle ja liittyy läheisesti suoran ja ympyrän yhtälöihin koordinaatistossa.
Usein kysytyt kysymykset
Miten lasketaan kahden pisteen välinen etäisyys?
Etäisyys lasketaan kaavalla d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Vähennetään ensin koordinaatit toisistaan, korotetaan erotukset neliöön, lasketaan ne yhteen ja otetaan neliöjuuri. Esimerkiksi pisteiden (1, 2) ja (4, 6) etäisyys on √(3² + 4²) = √25 = 5.
Miksi etäisyyskaavassa on neliöjuuri?
Kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta. Pisteiden välinen jana on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetit ovat x-suuntainen ero (x₂−x₁) ja y-suuntainen ero (y₂−y₁). Hypotenuusan pituus saadaan kateettien neliöiden summan neliöjuurena.
Onko erotusten järjestyksellä merkitystä?
Ei ole. Koska erotukset korotetaan neliöön, etumerkki häviää: (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)². Etäisyys on aina ei-negatiivinen ja sama kumpaan suuntaan tahansa mitattuna.
Miten lasken janan keskipisteen?
Janan keskipiste on koordinaattien keskiarvo: keskipiste = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Esimerkiksi pisteiden (1, 2) ja (4, 6) keskipiste on ((1+4)/2, (2+6)/2) = (2,5; 4).
Mitä jos pisteet ovat samalla pystysuoralla tai vaakasuoralla?
Tällöin toinen koordinaattiero on nolla, ja etäisyys on yksinkertaisesti toisen koordinaatin erotuksen itseisarvo. Esimerkiksi pisteiden (3, 1) ja (3, 5) etäisyys on |5 − 1| = 4, koska x-koordinaatit ovat samat.
Oliko tästä laskurista apua?