Piste 1 (x₁, y₁, z₁)
Piste 2 (x₂, y₂, z₂)
Esimerkki:
Etäisyys 3D-avaruudessa -laskuri
Laske kahden pisteen välinen etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa koordinaateista (x, y, z).
Tulokset
Etäisyys 3D-avaruudessa -laskuri
Tämä laskuri laskee kahden pisteen välisen etäisyyden kolmiulotteisessa avaruudessa, kun pisteiden koordinaatit (x, y, z) tunnetaan. Samalla näet akselikohtaiset erot ja etäisyyden neliön.
Etäisyyskaava avaruudessa
Pisteiden (x₁, y₁, z₁) ja (x₂, y₂, z₂) etäisyys on koordinaattierojen neliöiden summan neliöjuuri:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
Miksi kaava toimii?
Kaava on Pythagoraan lauseen yleistys kolmeen ulottuvuuteen. Koordinaattierot Δx, Δy ja Δz muodostavat suorakulmaisen särmiön särmät, ja pisteiden välinen jana on tämän särmiön avaruuslävistäjä. Pythagoraan lausetta soveltamalla lävistäjän pituudeksi saadaan juuri yllä oleva kaava.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Laske akselikohtaiset erot Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ ja Δz = z₂ − z₁.
- Korota jokainen ero neliöön.
- Laske neliöt yhteen.
- Ota summasta neliöjuuri — se on etäisyys d.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan pisteiden (1, 2, 3) ja (4, 6, 15) etäisyys.
Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12
d = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
Pisteiden etäisyys on siis 13.
Yhteys tason etäisyyteen
Tason etäisyyskaava on saman kaavan erikoistapaus: jos z₁ = z₂, kolmas termi on nolla ja jäljelle jää d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Avaruuskaava siis sisältää tason kaavan.
Käyttökohteet
- Avaruusvektorin pituuden laskeminen.
- Kappaleiden välisten etäisyyksien määrittäminen fysiikassa.
- Pisteiden ryhmittely ja lähimmän pisteen etsintä.
- Tietokonegrafiikan ja paikannuksen etäisyyslaskut.
Avaruuden etäisyys lukiossa
Kolmiulotteinen etäisyyskaava kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) vektorien ja avaruusgeometrian sisältöihin. Se liittyy läheisesti vektorin pituuteen ja pistetuloon, ja sitä käytetään muun muassa pallon yhtälön ja tasojen etäisyyksien yhteydessä.
Usein kysytyt kysymykset
Miten 3D-avaruuden etäisyys lasketaan?
Etäisyys on koordinaattierojen neliöiden summan neliöjuuri: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Lasketaan siis kunkin akselin suuntainen ero, korotetaan ne neliöön, lasketaan yhteen ja otetaan neliöjuuri.
Miksi kaavassa on neliöjuuri?
Kaava on Pythagoraan lauseen yleistys. Koordinaattierot muodostavat suorakulmaisen särmiön särmät, ja sen avaruuslävistäjän pituus saadaan soveltamalla Pythagoraan lausetta kahdesti, jolloin tulokseen tulee neliöjuuri.
Riippuuko etäisyys pisteiden järjestyksestä?
Ei. Koska erotukset korotetaan neliöön, etumerkki häviää: (x₂ − x₁)² on sama kuin (x₁ − x₂)². Pisteiden järjestyksellä ei siis ole väliä, ja etäisyys on aina sama tai positiivinen.
Miten 3D-kaava liittyy tason etäisyyskaavaan?
Tason kaavaan d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) lisätään z-koordinaatin ero samalla tavalla neliöitynä. Jos z-koordinaatit ovat samat, kolmas termi on nolla ja kaava palautuu tason etäisyyskaavaksi.
Mihin 3D-etäisyyttä käytetään?
Sitä käytetään avaruusgeometriassa, vektorien pituuksien laskennassa, fysiikassa kappaleiden välisten etäisyyksien määrittämisessä sekä tietokonegrafiikassa ja paikannuksessa.
Oliko tästä laskurista apua?