Vektori a
Syötä vektorin a komponentit. Jätä z nollaksi, jos kyseessä on tasovektori.
Vektori b
Syötä vektorin b komponentit samalla tavalla.
Kahden vektorin välinen kulma -laskuri
Laske kahden vektorin välinen kulma pistetulon avulla: cos θ = (a · b) ÷ (|a| · |b|). Toimii 2D- ja 3D-vektoreille.
Tulokset
Kahden vektorin välinen kulma -laskuri
Tämä laskuri laskee kahden vektorin välisen kulman pistetulon avulla. Vektorit voi antaa joko tasossa (2D) tai avaruudessa (3D); tasovektorille riittää jättää z-komponentti nollaksi.
Kulman kaava
Vektorien välinen kulma saadaan pistetulon ja pituuksien suhteesta:
cos θ = (a · b) ÷ (|a| · |b|)
Kulma θ ratkaistaan ottamalla tästä arkuskosini. Kulma on aina välillä 0°–180°, sillä se on vektorien välinen pienempi kulma.
Pistetulo
Pistetulo eli skalaaritulo lasketaan kertomalla vektorien vastinkomponentit ja summaamalla:
a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z
Tulos on luku, ei vektori. Pistetulo on positiivinen, kun kulma on terävä, nolla, kun vektorit ovat kohtisuorassa, ja negatiivinen, kun kulma on tylppä.
Vektorin pituus
Vektorin pituus eli itseisarvo saadaan komponenttien neliöiden summan neliöjuurena, eli Pythagoraan lauseesta:
|a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²)
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan vektorien a = (1, 0) ja b = (1, 1) välinen kulma.
Lasketaan ensin pistetulo ja pituudet:
a · b = 1·1 + 0·1 = 1
|a| = √(1² + 0²) = 1
|b| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,414
Sijoitetaan kaavaan:
cos θ = 1 ÷ (1 · √2) = 1 ÷ √2 ≈ 0,7071
θ = arccos(0,7071) = 45°
Vektorien välinen kulma on siis 45 astetta.
Kohtisuoruus pistetulosta
Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla:
a · b = 0 ⟺ θ = 90°
Tämä on nopea tapa tarkistaa kohtisuoruus laskematta varsinaista kulmaa. Esimerkiksi (1, 0) ja (0, 1) ovat kohtisuorassa.
Erikoistapaukset
- Samansuuntaiset (θ = 0°): cos θ = 1, vektorit osoittavat samaan suuntaan.
- Kohtisuorat (θ = 90°): cos θ = 0, pistetulo on nolla.
- Vastakkaiset (θ = 180°): cos θ = −1, vektorit osoittavat vastakkaisiin suuntiin.
Vektorien kulma koulussa
Vektorien välisen kulman laskeminen kuuluu lukion vektorilaskentaan, jossa pistetulo on keskeinen käsite. Sitä sovelletaan muun muassa kohtisuoruuden tutkimiseen, projektioiden laskemiseen ja geometristen tehtävien ratkaisemiseen. Aihe on osa pitkän matematiikan (MAA) vektorikurssia.
Usein kysytyt kysymykset
Miten kahden vektorin välinen kulma lasketaan?
Kahden vektorin välinen kulma lasketaan pistetulon avulla: cos θ = (a · b) ÷ (|a| · |b|), ja kulma saadaan ottamalla arkuskosini. Tässä a · b on vektorien pistetulo ja |a|, |b| ovat niiden pituudet. Kulma on aina välillä 0°–180°.
Mikä on pistetulo?
Pistetulo eli skalaaritulo lasketaan kertomalla vektorien vastinkomponentit ja laskemalla tulot yhteen: a · b = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z. Tulos on luku (skalaari), ei vektori. Esimerkiksi (1, 0) · (1, 1) = 1·1 + 0·1 = 1.
Mistä tietää, ovatko vektorit kohtisuorassa?
Kaksi vektoria on kohtisuorassa toisiaan vastaan eli niiden välinen kulma on 90°, kun niiden pistetulo on nolla: a · b = 0. Tämä on kätevä tapa tarkistaa kohtisuoruus ilman kulman laskemista. Esimerkiksi (1, 0) ja (0, 1) ovat kohtisuorassa, koska niiden pistetulo on 0.
Voiko kulman laskea myös avaruudessa?
Kyllä. Sama kaava cos θ = (a · b) ÷ (|a| · |b|) toimii sekä tasossa että avaruudessa. Erona on vain, että kolmiulotteisilla vektoreilla mukaan tulee z-komponentti sekä pistetulossa että pituudessa. Tasovektorille z-komponentti on 0.
Miksi kulma on aina enintään 180 astetta?
Kahden vektorin välinen kulma määritellään pienempänä kulmana niiden välissä, joten se on aina välillä 0°–180°. Arkuskosini palauttaa juuri tämän välin arvot. Kulma 0° tarkoittaa samansuuntaisia ja 180° vastakkaissuuntaisia vektoreita.
Oliko tästä laskurista apua?