Hyperbolisten funktioiden laskuri
Syötä luku x. Laskuri näyttää arvot sinh x, cosh x ja tanh x. Argumentti on tavallinen reaaliluku, ei kulma.
Pika-arvot:
Hyperboliset funktiot
Laske luvun hyperbolinen sini (sinh), kosini (cosh) ja tangentti (tanh) yhdellä kertaa.
Hyperboliset funktiot – sinh, cosh ja tanh
Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktioon perustuvia funktioita, jotka muistuttavat rakenteeltaan trigonometrisia funktioita. Niitä käytetään muun muassa fysiikassa, sähkötekniikassa ja matematiikassa. Tällä laskurilla syötät luvun x ja saat heti hyperbolisen sinin, kosinin ja tangentin.
Määritelmät
Hyperboliset funktiot määritellään Neperin luvun e potenssien avulla (e ≈ 2,71828):
sinh x = (eˣ − e⁻ˣ) ÷ 2
cosh x = (eˣ + e⁻ˣ) ÷ 2
tanh x = sinh x ÷ cosh x = (eˣ − e⁻ˣ) ÷ (eˣ + e⁻ˣ)
Yhteys hyperbeliin
Trigonometriset funktiot kuvaavat yksikköympyrän pisteitä: piste (cos t, sin t) on aina ympyrällä x² + y² = 1. Hyperboliset funktiot kuvaavat vastaavasti yksikköhyperbelin oikeaa haaraa: piste (cosh t, sinh t) on aina käyrällä x² − y² = 1. Tästä yhteydestä funktiot ovat saaneet nimensä, ja siitä seuraa perusidentiteetti:
cosh²x − sinh²x = 1
Funktioiden ominaisuudet
- sinh x on pariton funktio: sinh(−x) = −sinh x. Se kasvaa rajatta molempiin suuntiin.
- cosh x on parillinen funktio: cosh(−x) = cosh x. Sen pienin arvo on 1 (kohdassa x = 0).
- tanh x on pariton funktio ja sen arvot ovat aina välillä −1 … 1. Suurilla x:n arvoilla se lähestyy arvoa 1.
Yleisiä arvoja
- sinh 0 = 0, cosh 0 = 1, tanh 0 = 0
- sinh 1 ≈ 1,1752, cosh 1 ≈ 1,5431, tanh 1 ≈ 0,7616
- sinh 2 ≈ 3,6269, cosh 2 ≈ 3,7622, tanh 2 ≈ 0,9640
Laskettu esimerkki
Lasketaan cosh 1. Tarvitaan e¹ ≈ 2,71828 ja e⁻¹ ≈ 0,36788:
cosh 1 = (2,71828 + 0,36788) ÷ 2 = 3,08616 ÷ 2 ≈ 1,5431
Vastaavasti sinh 1 = (2,71828 − 0,36788) ÷ 2 ≈ 1,1752, joten tanh 1 = 1,1752 ÷ 1,5431 ≈ 0,7616.
Mihin hyperbolisia funktioita käytetään?
cosh-funktio kuvaa ketjukäyrää (katenaria) eli muotoa, jonka vapaasti riippuva ketju tai köysi muodostaa kahden tukipisteen välille. Tätä hyödynnetään esimerkiksi siltojen ja sähkölinjojen suunnittelussa. Hyperbolisia funktioita esiintyy myös suhteellisuusteoriassa, lämmönsiirtolaskennassa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa. tanh-funktiota käytetään koneoppimisessa neuroverkkojen aktivointifunktiona.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä hyperboliset funktiot ovat?
Hyperboliset funktiot sinh, cosh ja tanh ovat eksponenttifunktioon perustuvia funktioita, jotka muistuttavat trigonometrisia funktioita. Siinä missä sini ja kosini liittyvät yksikköympyrään, hyperboliset funktiot liittyvät yksikköhyperbeliin x² − y² = 1. Niitä esiintyy muun muassa fysiikassa ja insinööritieteissä.
Miten hyperboliset funktiot lasketaan?
Ne määritellään luvun e potensseina: sinh x = (eˣ − e⁻ˣ) ÷ 2, cosh x = (eˣ + e⁻ˣ) ÷ 2 ja tanh x = sinh x ÷ cosh x = (eˣ − e⁻ˣ) ÷ (eˣ + e⁻ˣ). Tässä e ≈ 2,71828 on Neperin luku.
Paljonko on sinh 0, cosh 0 ja tanh 0?
sinh 0 = 0, cosh 0 = 1 ja tanh 0 = 0. Kun x = 0, sekä eˣ että e⁻ˣ ovat 1, joten sinh ja tanh ovat nollia ja cosh on yksi.
Mikä on tanh-funktion arvoalue?
tanh x saa arvoja vain väliltä −1 … 1, eikä se koskaan saavuta päätepisteitä. Kun x kasvaa suureksi, tanh x lähestyy arvoa 1, ja kun x pienenee hyvin negatiiviseksi, se lähestyy arvoa −1. Tämän vuoksi tanh-funktiota käytetään muun muassa neuroverkkojen aktivointifunktiona.
Mihin hyperbolisia funktioita käytetään?
cosh-funktio kuvaa ketjukäyrää eli muotoa, jonka vapaasti riippuva köysi tai ketju ottaa. Hyperbolisia funktioita käytetään myös suhteellisuusteoriassa, sähkötekniikassa siirtolinjojen laskennassa sekä monissa differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Arkushyperboliset funktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotArkusfunktiot ja käänteisfunktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotAste ↔ radiaaniLukujärjestelmät ja muunnoksetFunktiolaskinFunktiot ja yhtälötSekantti, kosekantti, kotangenttiTrigonometria ja hyperboliset funktiotSini, kosini, tangenttiTrigonometria ja hyperboliset funktiot
