Arkushyperbolisen funktion laskuri
Valitse funktio ja syötä arvo. arcosh vaatii arvon ≥ 1 ja artanh arvon avoimelta väliltä −1 … 1.
Pika-arvot:
Arkushyperboliset funktiot
Laske arkushyperboliset funktiot arsinh, arcosh ja artanh eli hyperbolisten funktioiden käänteisarvot annetulle luvulle.
Arkushyperboliset funktiot – hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot
Arkushyperboliset funktiot eli areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden sinh, cosh ja tanh käänteisfunktioita. Ne palauttavat luvun, jolla hyperbolinen funktio antaa annetun arvon. Tällä laskurilla syötät arvon ja valitset funktion, niin saat tuloksen heti.
Määritelmät ja logaritmimuoto
Arkushyperboliset funktiot voidaan esittää luonnollisen logaritmin avulla, mikä tekee niistä helppoja laskea:
arsinh x = ln(x + √(x² + 1))
arcosh x = ln(x + √(x² − 1)), kun x ≥ 1
artanh x = ½ · ln((1 + x) ÷ (1 − x)), kun −1 < x < 1
Määrittelyalueet
- arsinh x: määritelty kaikilla reaaliluvuilla, koska sinh saa kaikki reaaliarvot.
- arcosh x: määritelty vain, kun x ≥ 1, koska cosh-funktion pienin arvo on 1. Päähaara antaa ei-negatiivisen tuloksen.
- artanh x: määritelty vain avoimella välillä −1 … 1, koska tanh-funktion arvot pysyvät tällä välillä. Päätepisteissä funktio kasvaa rajatta.
Yhteys areafunktioihin
Nimitys areafunktio juontaa geometriasta. Yksikköympyrässä kulman radiaaniarvo vastaa kaaren pituutta, ja arkusfunktiot palauttavat tämän kulman. Yksikköhyperbelissä vastaava suure on hyperbolisen sektorin pinta-ala (latinaksi area), ja arkushyperboliset funktiot palauttavat juuri tämän pinta-alaan liittyvän parametrin. Siksi niitä kutsutaan areafunktioiksi.
Yleisiä arvoja
- arsinh 0 = 0, arsinh 1 ≈ 0,8814
- arcosh 1 = 0, arcosh 2 ≈ 1,3170
- artanh 0 = 0, artanh 0,5 ≈ 0,5493
Laskettu esimerkki
Lasketaan artanh 0,5 logaritmimuodolla:
artanh 0,5 = ½ · ln((1 + 0,5) ÷ (1 − 0,5)) = ½ · ln(1,5 ÷ 0,5) = ½ · ln 3 ≈ ½ · 1,0986 ≈ 0,5493
Tulos tarkistuu hyperbolisesta tangentista: tanh 0,5493 ≈ 0,5, kuten pitääkin.
Mihin arkushyperbolisia funktioita käytetään?
Areafunktioita tarvitaan, kun hyperbolisen funktion sisältävä yhtälö ratkaistaan argumentin suhteen. Niitä esiintyy muun muassa integraalilaskennassa (monien juurilausekkeiden integraalit johtavat areafunktioihin), suhteellisuusteoriassa nopeuksien yhdistämisessä sekä sähkötekniikan ja lämmönsiirron laskennassa.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä arkushyperboliset funktiot ovat?
Arkushyperboliset funktiot eli areafunktiot ovat hyperbolisten funktioiden sinh, cosh ja tanh käänteisfunktioita. Esimerkiksi arsinh y palauttaa sen luvun x, jolle sinh x = y. Niistä käytetään merkintöjä arsinh, arcosh ja artanh tai sinh⁻¹, cosh⁻¹ ja tanh⁻¹.
Miten arkushyperboliset funktiot lasketaan?
Niillä on suljettu logaritmimuoto: arsinh x = ln(x + √(x²+1)), arcosh x = ln(x + √(x²−1)) ja artanh x = ½·ln((1+x) ÷ (1−x)). Tästä näkee, että ne palautuvat luonnolliseen logaritmiin.
Mikä on arkushyperbolisten funktioiden määrittelyalue?
arsinh on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. arcosh vaatii arvon x ≥ 1, koska cosh-funktion arvot ovat aina vähintään 1. artanh on määritelty vain avoimella välillä −1 … 1, koska tanh-funktion arvot pysyvät tällä välillä.
Paljonko on arsinh 0, arcosh 1 ja artanh 0,5?
arsinh 0 = 0, arcosh 1 = 0 ja artanh 0,5 ≈ 0,5493. Nämä seuraavat siitä, että sinh 0 = 0, cosh 0 = 1 ja tanh 0,5493 ≈ 0,5.
Miksi areafunktio-nimitystä käytetään?
Nimi tulee siitä, että arkushyperbolisen funktion arvo vastaa yksikköhyperbeliin liittyvän sektorin pinta-alaa (latinaksi area), samaan tapaan kuin arkusfunktion arvo vastaa kaaren pituutta yksikköympyrässä. Siksi niitä kutsutaan myös areafunktioiksi.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Hyperboliset funktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotArkusfunktiot ja käänteisfunktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotAste ↔ radiaaniLukujärjestelmät ja muunnoksetFunktiolaskinFunktiot ja yhtälötSekantti, kosekantti, kotangenttiTrigonometria ja hyperboliset funktiotSini, kosini, tangenttiTrigonometria ja hyperboliset funktiot
