Arkusfunktion laskuri
Valitse funktio ja syötä arvo. Laskuri näyttää kulman sekä asteina että radiaaneina. arcsin ja arccos vaativat arvon väliltä −1 … 1.
Pika-arvot:
Arkusfunktiot ja käänteisfunktiot
Laske arkusfunktiot eli trigonometristen funktioiden käänteisarvot arcsin, arccos ja arctan – tulos asteina ja radiaaneina.
Arkusfunktiot – trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot
Arkusfunktiot eli käänteiset trigonometriset funktiot palauttavat kulman, kun sinin, kosinin tai tangentin arvo tunnetaan. Tavalliset trigonometriset funktiot muuntavat kulman suhdeluvuksi; arkusfunktiot tekevät päinvastoin. Tällä laskurilla saat kulman sekä asteina että radiaaneina.
Määritelmät
Arkusfunktiot ovat sinin, kosinin ja tangentin käänteisfunktioita:
arcsin x = se kulma α, jolle sin α = x
arccos x = se kulma α, jolle cos α = x
arctan x = se kulma α, jolle tan α = x
Merkintöjä sin⁻¹, cos⁻¹ ja tan⁻¹ käytetään samassa merkityksessä. Tässä −1 tarkoittaa käänteisfunktiota, ei potenssia.
Määrittely- ja arvoalueet
Koska sini ja kosini saavat arvoja vain väliltä −1 … 1, niiden käänteisfunktiot on määritelty vain tällä välillä. Jotta käänteisfunktiot olisivat yksikäsitteisiä, niille valitaan päähaara:
- arcsin x: määrittelyalue −1 … 1, arvot −90°…90° (−π/2 … π/2)
- arccos x: määrittelyalue −1 … 1, arvot 0°…180° (0 … π)
- arctan x: määrittelyalue kaikki reaaliluvut, arvot −90°…90° (−π/2 … π/2)
Yksikköympyrä
Yksikköympyrässä kulmaa α vastaava kehäpiste on (cos α, sin α). Arkusfunktio etsii tästä takaisin kulman. Koska sama sinin arvo toistuu monella kulmalla (esimerkiksi sin 30° = sin 150°), käänteisfunktio palauttaa vain päähaaran arvon. Niinpä arcsin 0,5 = 30°, vaikka myös 150° antaa sinin 0,5.
Yleisiä arvoja
- arcsin 0 = 0°, arcsin 0,5 = 30°, arcsin 1 = 90°
- arccos 1 = 0°, arccos 0,5 = 60°, arccos 0 = 90°
- arctan 0 = 0°, arctan 1 = 45°, arctan √3 ≈ 60°
Laskettu esimerkki
Suorakulmaisessa kolmiossa vastaisen kateetin pituus on 3 ja viereisen 4. Kuinka suuri on kulma α? Tangentti on kateettien suhde, joten kulma saadaan arkustangentilla:
α = arctan(3 ÷ 4) = arctan 0,75 ≈ 36,87°
Radiaaneina tämä on noin 0,6435 rad. Vastaavasti, jos tiedämme että sin α = 0,5, saamme α = arcsin 0,5 = 30° = π/6 rad.
Mihin arkusfunktioita tarvitaan?
Arkusfunktioilla ratkaistaan kulma, kun mittasuhteet tunnetaan. Niitä käytetään esimerkiksi rakennustekniikassa kattokaltevuuden laskemiseen, fysiikassa heittokulmien määrittämiseen, navigoinnissa suuntakulmien laskemiseen ja tietokonegrafiikassa kappaleiden kiertämiseen.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä arkusfunktiot ovat?
Arkusfunktiot eli syklometriset funktiot ovat sinin, kosinin ja tangentin käänteisfunktioita. Ne vastaavat kysymykseen "mikä kulma antaa tämän arvon". Esimerkiksi arcsin 0,5 = 30°, koska sin 30° = 0,5. Merkintöinä käytetään arcsin, arccos ja arctan tai sin⁻¹, cos⁻¹ ja tan⁻¹.
Miksi arcsin ja arccos vaativat arvon väliltä −1 ja 1?
Koska sini ja kosini saavat arvoja vain väliltä −1 … 1, niiden käänteisfunktiot on määritelty vain tällä välillä. Esimerkiksi arcsin 2 ei ole olemassa, sillä mikään kulma ei anna siniä 2. arctan sen sijaan hyväksyy kaikki reaaliluvut.
Mikä on arkusfunktioiden arvoalue?
arcsin antaa kulman väliltä −90°…90°, arccos väliltä 0°…180° ja arctan väliltä −90°…90° (päätepisteitä lukuun ottamatta). Nämä päähaarat valitaan, jotta jokaiselle arvolle saadaan yksikäsitteinen kulma, vaikka sama sinin arvo toistuu monella kulmalla.
Paljonko on arcsin 0,5 ja arctan 1?
arcsin 0,5 = 30° = π/6 rad ja arctan 1 = 45° = π/4 rad. Lisäksi arccos 0,5 = 60° = π/3 rad ja arccos 1 = 0°.
Mihin arkusfunktioita käytetään?
Niillä ratkaistaan kulma, kun sivujen suhde tunnetaan. Esimerkiksi suorakulmaisessa kolmiossa kulma saadaan kateettien suhteesta tangentin käänteisfunktiolla: α = arctan(vastainen ÷ viereinen). Niitä tarvitaan muun muassa fysiikassa, geometriassa ja tietokonegrafiikassa.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Sekantti, kosekantti, kotangenttiTrigonometria ja hyperboliset funktiotArkushyperboliset funktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotAste ↔ radiaaniLukujärjestelmät ja muunnoksetFunktiolaskinFunktiot ja yhtälötHyperboliset funktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotKäänteisfunktioFunktiot ja yhtälöt
