Kulman sini, kosini ja tangentti
Syötä kulma ja valitse yksiköksi asteet tai radiaanit. Laskuri näyttää sinin, kosinin ja tangentin heti.
Pikakulmat:
Sini, kosini, tangentti
Laske kulman sini, kosini ja tangentti yhdellä kertaa. Valitse kulmayksiköksi asteet tai radiaanit.
Sini, kosini ja tangentti – kulman trigonometriset funktiot
Sini, kosini ja tangentti ovat trigonometrian perusfunktiot. Niiden avulla kuvataan kulman ja sivujen suhdetta suorakulmaisessa kolmiossa, ja niitä käytetään muun muassa geometriassa, fysiikassa, rakennustekniikassa ja navigoinnissa. Tällä laskurilla syötät kulman asteina tai radiaaneina ja saat heti kaikki kolme arvoa.
Määritelmät suorakulmaisessa kolmiossa
Tarkastellaan suorakulmaisen kolmion terävää kulmaa. Kulmaan nähden sivut ovat hypotenuusa (pisin sivu), vastainen kateetti (kulmaa vastapäätä) ja viereinen kateetti (kulman vieressä). Funktiot määritellään näin:
sin α = vastainen ÷ hypotenuusa
cos α = viereinen ÷ hypotenuusa
tan α = vastainen ÷ viereinen = sin α ÷ cos α
Yksikköympyrä
Yksikköympyrä on origokeskinen ympyrä, jonka säde on 1. Kun kulma α mitataan positiivisesta x-akselista vastapäivään, kehäpisteen koordinaatit ovat (cos α, sin α). Kosini on siis pisteen x-koordinaatti ja sini sen y-koordinaatti. Tästä näkee suoraan, että sekä sini että kosini saavat arvoja vain väliltä −1 … 1 ja että tangentti (y ÷ x) kasvaa rajatta, kun x lähestyy nollaa eli kulma lähestyy 90 astetta.
Yleisiä arvoja
- sin 0° = 0, cos 0° = 1, tan 0° = 0
- sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,866, tan 30° ≈ 0,577
- sin 45° ≈ 0,707, cos 45° ≈ 0,707, tan 45° = 1
- sin 60° ≈ 0,866, cos 60° = 0,5, tan 60° ≈ 1,732
- sin 90° = 1, cos 90° = 0, tan 90° ei määritelty
Asteet ja radiaanit
Kulman voi ilmoittaa asteina tai radiaaneina. Muunnos on suoraviivainen:
radiaanit = asteet × π ÷ 180
Esimerkiksi 180° = π rad ≈ 3,1416 rad ja 90° = π/2 rad ≈ 1,5708 rad. Valitse laskurissa oikea yksikkö, sillä sama luku eri yksiköissä antaa eri tuloksen: sin 30° = 0,5, mutta sin 30 rad ≈ −0,988.
Laskettu esimerkki
Lasketaan kulman 30° funktioiden arvot. Asteet muunnetaan ensin radiaaneiksi: 30 × π ÷ 180 = π/6 ≈ 0,5236 rad. Tämän jälkeen:
- sin 30° = 0,5
- cos 30° ≈ 0,8660
- tan 30° = sin 30° ÷ cos 30° = 0,5 ÷ 0,8660 ≈ 0,5774
Käytännön sovellus: jos 5 metrin tikkaat nojaavat seinään 60° kulmassa maahan nähden, tikkaiden yläpää on seinällä korkeudella 5 × sin 60° ≈ 4,33 m ja tikkaiden alapää on seinästä 5 × cos 60° = 2,5 m.
Funktioiden ominaisuuksia
- Jaksollisuus: sini ja kosini toistuvat 360° (2π) välein, tangentti 180° (π) välein.
- Arvoalue: sin ja cos saavat arvoja välillä −1 … 1, tan kaikkia reaalilukuja.
- Yhteys: Pythagoraan trigonometrinen identiteetti sin²α + cos²α = 1 pätee kaikilla kulmilla.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä sini, kosini ja tangentti tarkoittavat?
Ne ovat suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita terävän kulman suhteen. Sini on vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan, kosini on viereisen kateetin suhde hypotenuusaan ja tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin. Tangentti on myös sinin ja kosinin osamäärä: tan = sin ÷ cos.
Paljonko on sin 30°, cos 60° ja tan 45°?
sin 30° = 0,5, cos 60° = 0,5 ja tan 45° = 1. Nämä ovat yleisiä muistettavia arvoja. Lisäksi sin 0° = 0, cos 0° = 1 ja sin 90° = 1.
Miksi tangentti ei ole määritelty 90 asteessa?
Tangentti on sinin ja kosinin osamäärä, ja kosini on nolla 90 asteessa (ja 270 asteessa). Nollalla ei voi jakaa, joten tangentti kasvaa rajatta lähestyttäessä 90 astetta eikä saa siinä äärellistä arvoa.
Mikä on ero asteiden ja radiaanien välillä?
Aste ja radiaani ovat kaksi tapaa mitata kulmaa. Täysi ympyrä on 360° eli 2π radiaania, joten 180° = π radiaania ja 1 rad ≈ 57,30°. Trigonometriset funktiot antavat saman tuloksen vain, kun kulma on samassa yksikössä – tarkista siis valittu yksikkö.
Voivatko sini ja kosini olla suurempia kuin 1?
Eivät. Sinin ja kosinin arvo on aina välillä −1 ja 1. Tangentti sen sijaan voi saada minkä tahansa reaaliarvon −∞:stä +∞:ään.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Aste ↔ radiaaniLukujärjestelmät ja muunnoksetSinilauseTrigonometria ja hyperboliset funktiotArkusfunktiot ja käänteisfunktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotArkushyperboliset funktiotTrigonometria ja hyperboliset funktiotDerivaatta ja osittaisderivaattaDerivoinnit ja integraalitFunktiolaskinFunktiot ja yhtälöt
