Funktio ja piste
Kirjoita funktio muuttujan x avulla (esim. x^2, sin(x), ln(x)). Käytä merkkejä + − * / ^ ja funktioita sin, cos, tan, ln, log, sqrt, exp sekä vakioita pi ja e.
Derivaattalaskuri
Laske funktion derivaatan arvo halutussa pisteessä numeerisesti ja katso pisteeseen piirtyvän tangentin yhtälö.
Derivaattalaskuri – derivaatan arvo ja tangentti pisteessä
Derivaattalaskuri laskee funktion derivaatan arvon valitussa pisteessä ja kertoo, millainen tangentti funktion kuvaajalle siihen pisteeseen piirtyy. Laskuri sopii lukion ja korkeakoulun matematiikan tehtäviin sekä tilanteisiin, joissa haluat tarkistaa käsin lasketun derivaatan arvon.
Mikä derivaatta on?
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä muutosnopeutta. Se kertoo, kuinka paljon funktion arvo muuttuu, kun muuttujaa kasvatetaan hyvin vähän. Geometrisesti derivaatan arvo pisteessä on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin: positiivinen arvo tarkoittaa nousevaa ja negatiivinen laskevaa kuvaajaa.
Derivaatan määritelmä
Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona, kun muutos lähestyy nollaa.
f'(x) = limh→0 (f(x + h) − f(x)) / h
Numeerinen derivointi keskeisdifferenssillä
Laskuri laskee derivaatan numeerisesti keskeisdifferenssillä, jossa funktiota tutkitaan symmetrisesti pisteen molemmin puolin. Menetelmä on tarkempi kuin pelkkä eteen- tai taaksepäin laskettu erotusosamäärä, koska virhe on luokkaa h².
f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2h)
Tässä h on hyvin pieni luku. Laskuri valitsee askelpituuden h automaattisesti pisteen suuruuden mukaan, jotta tulos on mahdollisimman tarkka.
Tangentin yhtälö
Kun tiedät derivaatan arvon f'(a) ja funktion arvon f(a) pisteessä x = a, saat kuvaajan tangentin yhtälön suoran kulmakerroinmuodosta.
y = f'(a) · (x − a) + f(a)
Esimerkki: f(x) = x²
Lasketaan funktion f(x) = x² derivaatta pisteessä x = 3. Tarkka derivaatta on f'(x) = 2x, joten f'(3) = 2 · 3 = 6. Numeerinen keskeisdifferenssi antaa saman tuloksen: (3,001² − 2,999²) / (2 · 0,001) = 6,000. Funktion arvo on f(3) = 9, joten tangentin yhtälö on y = 6(x − 3) + 9 eli y = 6x − 9.
Esimerkki: f(x) = sin(x)
Funktion f(x) = sin(x) derivaatta on cos(x). Pisteessä x = 0 saadaan f'(0) = cos(0) = 1. Trigonometriset funktiot lasketaan radiaaneina, kuten matemaattisessa analyysissä on vakiintunut tapa.
Milloin numeerinen derivaatta voi olla epätarkka?
Numeerinen derivointi toimii hyvin jatkuville ja sileille funktioille. Tulos voi olla epätarkka pisteissä, joissa funktiolla on terävä kulma, pystytangentti tai epäjatkuvuus, sillä derivaattaa ei näissä kohdissa ole määritelty. Tällöin kannattaa tarkastella funktion käyttäytymistä lähellä pistettä.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä derivaatta tarkoittaa?
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä muutosnopeutta eli sitä, kuinka jyrkästi funktion arvo muuttuu tietyssä pisteessä. Geometrisesti derivaatan arvo pisteessä on funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin.
Miten derivaatta lasketaan numeerisesti?
Laskuri käyttää keskeisdifferenssiä: f'(x) ≈ (f(x + h) − f(x − h)) / (2h), jossa h on hyvin pieni luku. Menetelmä antaa erittäin tarkan likiarvon ilman, että derivaatan kaavaa tarvitsee johtaa käsin.
Mikä on tangentin yhtälö?
Tangentti on suora, joka sivuaa funktion kuvaajaa pisteessä x = a. Sen yhtälö on y = f'(a)(x − a) + f(a), jossa f'(a) on derivaatan arvo eli kulmakerroin ja f(a) on funktion arvo pisteessä.
Mitä funktioita laskuri tukee?
Laskuri tukee peruslaskutoimituksia (+ − × ÷), potenssia (^), neliöjuurta (sqrt), trigonometrisia funktioita (sin, cos, tan), logaritmeja (ln, log), eksponenttifunktiota (exp) sekä vakioita π ja e. Muuttuja on aina x.
Lasketaanko kulmat asteina vai radiaaneina?
Trigonometriset funktiot lasketaan radiaaneina, kuten matemaattisessa analyysissä on tapana. Esimerkiksi funktion sin(x) derivaatta pisteessä x = 0 on 1, mikä vastaa tunnettua tulosta cos(0) = 1.
Kuinka tarkka numeerinen derivaatta on?
Keskeisdifferenssin virhe on luokkaa h², joten tulos on tavallisille funktioille tarkka useaan desimaaliin. Hyvin lähellä epäjatkuvuuskohtia tai jyrkkiä piikkejä tulos voi olla epätarkka, koska funktion derivaattaa ei siellä ole määritelty.
Oliko tästä laskurista apua?
