Yhtälö y′ = f(x, y)
Kirjoita yhtälön oikea puoli muuttujilla x ja y. Käytä merkkejä + − * / ja ^ sekä funktioita sin, cos, exp, ln, sqrt. Esimerkiksi "y", "x + y" tai "x*y".
Esimerkkejä:
Differentiaaliyhtälön ratkaisija
Ratkaise ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä y′ = f(x, y) numeerisesti Eulerin tai Runge–Kutta-menetelmällä.
Differentiaaliyhtälön ratkaisija – y′ = f(x, y) numeerisesti
Moni ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ei ratkea suljetussa muodossa, joten ratkaisu lasketaan numeerisesti. Tämä laskuri ratkaisee alkuarvotehtävän y′ = f(x, y), y(x0) = y0 etenemällä alkupisteestä pienin askelin ja arvioimalla y:n arvon yhä uusissa pisteissä. Voit valita yksinkertaisen Eulerin menetelmän tai tarkemman neljännen kertaluvun Runge–Kutta-menetelmän.
Alkuarvotehtävä
Tehtävä koostuu yhtälöstä ja yhdestä tunnetusta pisteestä:
y′ = f(x, y), y(x0) = y0
Etsitään ratkaisukäyrä y(x), joka kulkee pisteen (x0, y0) kautta. Numeerinen menetelmä korvaa jatkuvan käyrän pisteiden jonolla, jossa peräkkäisten x-arvojen väli on askelpituus h.
Eulerin menetelmä
Yksinkertaisin menetelmä ottaa askeleen kulmakertoimen suuntaan välin alussa:
yₙ₊₁ = yₙ + h · f(xₙ, yₙ)
Menetelmä on helppo ymmärtää, mutta virhe kasvaa askelpituuden myötä.
Runge–Kutta-menetelmä (RK4)
RK4 laskee neljä kulmakertoimen arviota askeleen sisällä ja yhdistää ne:
k₁ = f(xₙ, yₙ)
k₂ = f(xₙ + h/2, yₙ + h·k₁/2)
k₃ = f(xₙ + h/2, yₙ + h·k₂/2)
k₄ = f(xₙ + h, yₙ + h·k₃)
yₙ₊₁ = yₙ + h/6 · (k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Tulos on selvästi tarkempi kuin Eulerin, koska se ottaa huomioon kulmakertoimen muutoksen askeleen aikana.
Laskettu esimerkki
Ratkaistaan y′ = y alkuarvolla y(0) = 1. Tarkka ratkaisu on y = eˣ.
- Euler, h = 0,1: y(0,1) = 1 + 0,1 · 1 = 1,1; kymmenen askeleen jälkeen y(1) ≈ 2,594.
- RK4, h = 0,1: y(0,1) ≈ 1,10517, ja y(1) ≈ 2,71828 – käytännössä sama kuin tarkka arvo e ≈ 2,71828.
Esimerkki näyttää, kuinka RK4 saavuttaa paljon paremman tarkkuuden samalla askelpituudella.
Käytön huomioita
- Askelpituus: pienennä h:ta, jos haluat tarkemman ratkaisun; suurenna sitä nopeampaan yleiskuvaan.
- Suunta: jos xn on pienempi kuin x0, ratkaisu etenee taaksepäin ja askel on negatiivinen.
- Vakausvirheet: jyrkästi muuttuvilla yhtälöillä Euler voi heilahdella – kokeile tällöin RK4:ää tai pienennä h:ta.
- Korkeampi kertaluku: toisen kertaluvun yhtälö muunnetaan ensin kahden ensimmäisen kertaluvun yhtälön ryhmäksi.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on alkuarvotehtävä?
Alkuarvotehtävässä on annettu differentiaaliyhtälö y′ = f(x, y) ja yksi tunnettu piste y(x0) = y0. Tehtävänä on löytää ratkaisufunktio y(x), joka kulkee tämän pisteen kautta ja toteuttaa yhtälön. Numeerinen menetelmä etenee alkupisteestä pienin askelin ja laskee y:n arvon yhä uusissa x-pisteissä.
Mikä ero on Eulerin ja Runge–Kutta-menetelmällä?
Euler on yksinkertaisin: se ottaa askeleen kulmakertoimen suuntaan välin alussa, joten virhe kertyy melko nopeasti. Runge–Kutta (RK4) laskee neljä kulmakertoimen arviota askeleen sisällä ja yhdistää ne painotettuna keskiarvona, jolloin tulos on huomattavasti tarkempi samalla askelpituudella.
Miten askelpituus h vaikuttaa tulokseen?
Pienempi askelpituus h tarkentaa ratkaisua, koska menetelmä seuraa käyrää tiheämmin, mutta vaatii enemmän laskentaa. Liian suuri h kasvattaa virhettä ja voi tehdä Euler-ratkaisusta epävakaan. RK4 antaa hyvän tarkkuuden suuremmallakin askeleella kuin Euler.
Millaisia yhtälöitä laskuri ratkaisee?
Laskuri ratkaisee ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä muotoa y′ = f(x, y), joissa oikea puoli voi riippua sekä x:stä että y:stä. Kirjoita oikea puoli muuttujilla x ja y, esimerkiksi "x + y", "x*y" tai "y - x^2". Korkeamman kertaluvun yhtälö pitää ensin muuntaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöryhmäksi.
Kuinka tarkka numeerinen ratkaisu on?
Tarkkuus riippuu menetelmästä ja askelpituudesta. Testitapauksessa y′ = y, y(0) = 1: RK4 antaa askeleella h = 0,1 arvon y(1) ≈ 2,71828, joka vastaa tarkkaa arvoa e lähes kuuden desimaalin tarkkuudella, kun taas Euler antaa noin 2,594. Tarkkuutta voi aina parantaa pienentämällä h:ta.
Oliko tästä laskurista apua?
