Yhtälö y′ = f(x, y)
Kirjoita yhtälön oikea puoli muuttujilla x ja y. Käytä merkkejä + − * / ja ^ sekä funktioita sin, cos, exp, ln, sqrt. Esimerkiksi "y", "x + y" tai "x - y".
Esimerkkejä:
Eulerin menetelmä
Ratkaise alkuarvotehtävä y′ = f(x, y) Eulerin menetelmällä ja näe jokainen askel: kulmakerroin, lisäys ja uusi y.
Eulerin menetelmä – numeerinen ratkaisu askel kerrallaan
Eulerin menetelmä on yksinkertaisin tapa ratkaista ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö numeerisesti. Se etenee tunnetusta alkupisteestä pienin askelin ja seuraa ratkaisukäyrää kulmakertoimen avulla. Tämä laskuri näyttää koko laskennan vaihe vaiheelta, joten näet, miten jokainen uusi arvo syntyy.
Alkuarvotehtävä
Lähtökohtana on yhtälö ja yksi tunnettu piste:
y′ = f(x, y), y(x0) = y0
Tavoitteena on arvioida ratkaisufunktion y(x) arvot uusissa x-pisteissä alkupisteestä eteenpäin.
Eulerin askel
Yhden askeleen kaava on:
yₙ₊₁ = yₙ + h · f(xₙ, yₙ)
Tässä f(xₙ, yₙ) on kulmakerroin nykyisessä pisteessä ja h askelpituus. Käytännössä lasketaan ensin kulmakerroin, kerrotaan se askelpituudella ja lisätään tulos edelliseen y-arvoon. Samalla x kasvaa askelpituuden verran.
Laskettu esimerkki
Ratkaistaan y′ = y alkuarvolla y(0) = 1 askelpituudella h = 0,1. Tarkka ratkaisu on y = eˣ.
- Askel 1: kulmakerroin f(0, 1) = 1, lisäys 0,1 · 1 = 0,1, joten y(0,1) = 1 + 0,1 = 1,1.
- Askel 2: kulmakerroin f(0,1, 1,1) = 1,1, lisäys 0,11, joten y(0,2) = 1,1 + 0,11 = 1,21.
- Kymmenen askeleen jälkeen y(1) ≈ 2,594, kun tarkka arvo on e ≈ 2,718. Ero johtuu menetelmän kertyvästä virheestä.
Menetelmän virhe
Euler olettaa kulmakertoimen pysyvän samana koko askeleen ajan, vaikka se todellisuudessa muuttuu. Tästä syntyy virhe, joka kertyy askel askeleelta. Virhettä voi pienentää lyhentämällä askelpituutta h, jolloin menetelmä seuraa käyrää tarkemmin. Vielä tarkempi tulos saadaan neljännen kertaluvun Runge–Kutta-menetelmällä, joka käyttää useaa kulmakertoimen arviota yhtä askelta kohden.
Käytön huomioita
- Opetuskäyttö: Euler havainnollistaa numeerisen ratkaisun perusidean selkeästi.
- Askelpituus: tasapainota tarkkuus ja laskennan määrä valitsemalla sopiva h.
- Suunta: jos loppupiste on alkupistettä pienempi, ratkaisu etenee taaksepäin negatiivisella askeleella.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on Eulerin menetelmä?
Eulerin menetelmä on yksinkertaisin tapa ratkaista ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö numeerisesti. Se lähtee tunnetusta alkupisteestä ja ottaa toistuvia askelia kulmakertoimen f(x, y) suuntaan. Jokainen uusi piste lasketaan kaavalla yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ), jossa h on askelpituus.
Miten yksi askel lasketaan?
Lasketaan ensin kulmakerroin nykyisessä pisteessä, k = f(xₙ, yₙ). Sitten otetaan askel sen suuntaan: uusi y on yₙ + h·k ja uusi x on xₙ + h. Tämä toistetaan, kunnes saavutetaan haluttu loppupiste. Laskuri näyttää jokaisesta askeleesta kulmakertoimen ja lisäyksen h·k erikseen.
Miksi Eulerin menetelmä antaa virhettä?
Euler olettaa kulmakertoimen pysyvän vakiona koko askeleen ajan, vaikka todellisuudessa se muuttuu. Siksi tulos poikkeaa tarkasta ratkaisusta, ja virhe kertyy askel askeleelta. Pienempi askelpituus h vähentää virhettä, mutta vaatii enemmän askelia. Tarkemman tuloksen saa Runge–Kutta-menetelmällä.
Miten askelpituus h valitaan?
Mitä pienempi h, sitä tarkempi ratkaisu, koska menetelmä seuraa käyrää tiheämmin. Liian suuri h voi tehdä ratkaisusta epätarkan tai epävakaan. Käytännössä h valitaan tehtävän mukaan: opetusesimerkeissä usein 0,1, tarkemmissa laskuissa selvästi pienempi.
Mihin Eulerin menetelmää käytetään?
Eulerin menetelmä on ennen kaikkea opetuksellinen: se havainnollistaa, miten numeerinen ratkaisu rakentuu kulmakertoimista askel askeleelta. Samaa perusajatusta käytetään monissa tarkemmissa menetelmissä. Yksinkertaisissa malleissa ja nopeissa arvioissa Euler riittää, kun askelpituus pidetään pienenä.
Oliko tästä laskurista apua?
