Funktio ja piste
Kirjoita kahden muuttujan funktio x:n ja y:n avulla (esim. x^2 + y^2, x*y, sin(x)*y). Käytä merkkejä + − * / ^ ja funktioita sin, cos, tan, ln, log, sqrt, exp sekä vakioita pi ja e.
Gradienttilaskuri
Laske kahden muuttujan funktion f(x, y) gradientti pisteessä: osittaisderivaatat ∂f/∂x ja ∂f/∂y sekä gradienttivektorin pituus.
Gradienttilaskuri – osittaisderivaatat ja gradienttivektori
Gradienttilaskuri laskee kahden muuttujan funktion gradientin valitussa pisteessä. Se antaa molemmat osittaisderivaatat, niistä koostuvan gradienttivektorin sekä vektorin pituuden. Laskuri sopii korkeakoulun usean muuttujan analyysin tehtäviin ja käsin laskettujen tulosten tarkistamiseen.
Mikä gradientti on?
Gradientti ∇f on vektori, joka kootaan funktion osittaisderivaatoista. Kahden muuttujan funktiolle f(x, y) gradientti on pari, jossa ensimmäinen komponentti kuvaa muutosta x-suunnassa ja toinen y-suunnassa.
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
Gradientti osoittaa suuntaan, johon funktion arvo kasvaa nopeimmin, ja sen pituus kertoo tämän jyrkimmän nousun nopeuden.
Osittaisderivaatta
Osittaisderivaatta saadaan derivoimalla funktio yhden muuttujan suhteen ja pitämällä toinen muuttuja vakiona. Merkintä ∂f/∂x tarkoittaa derivaattaa x:n suhteen, kun y pidetään kiinteänä.
Numeerinen laskenta keskeisdifferenssillä
Laskuri laskee osittaisderivaatat numeerisesti keskeisdifferenssillä, jolloin funktiota tutkitaan symmetrisesti pisteen molemmin puolin kummankin muuttujan suunnassa.
∂f/∂x ≈ (f(x + h, y) − f(x − h, y)) / (2h)
∂f/∂y ≈ (f(x, y + h) − f(x, y − h)) / (2h)
Gradienttivektorin pituus
Gradientin pituus saadaan komponenttien neliösummasta Pythagoraan lauseen tapaan.
|∇f| = √((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²)
Esimerkki: f(x, y) = x² + y²
Lasketaan funktion f(x, y) = x² + y² gradientti pisteessä (3, 4). Osittaisderivaatat ovat ∂f/∂x = 2x ja ∂f/∂y = 2y, joten pisteessä saadaan ∂f/∂x = 6 ja ∂f/∂y = 8. Gradienttivektori on siten ∇f = (6, 8) ja sen pituus √(6² + 8²) = √100 = 10.
Esimerkki: f(x, y) = x·y
Funktiolle f(x, y) = x·y osittaisderivaatat ovat ∂f/∂x = y ja ∂f/∂y = x. Pisteessä (2, 5) gradientti on siis (5, 2). Tämä havainnollistaa, kuinka yhden muuttujan suhteen derivoitaessa toinen muuttuja toimii vakiokertoimena.
Mihin gradienttia käytetään?
Gradienttia tarvitaan muun muassa funktion ääriarvojen etsimisessä, suunnatun derivaatan laskemisessa ja optimoinnissa. Funktion ääriarvopisteissä gradientti on nollavektori. Optimoinnissa ja koneoppimisessa gradienttimenetelmä etsii minimiä kulkemalla askel kerrallaan gradientin vastasuuntaan.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on gradientti?
Gradientti on kahden (tai useamman) muuttujan funktion derivaattojen muodostama vektori ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Se osoittaa suuntaan, johon funktion arvo kasvaa nopeimmin, ja sen pituus kertoo tämän jyrkimmän nousun nopeuden.
Mikä on osittaisderivaatta?
Osittaisderivaatta saadaan derivoimalla funktio yhden muuttujan suhteen ja pitämällä muut muuttujat vakioina. Esimerkiksi ∂f/∂x kertoo, kuinka funktion arvo muuttuu, kun vain x muuttuu ja y pysyy ennallaan.
Miten gradientti lasketaan numeerisesti?
Laskuri käyttää keskeisdifferenssiä kummallekin muuttujalle: ∂f/∂x ≈ (f(x + h, y) − f(x − h, y)) / (2h) ja vastaavasti ∂f/∂y. Näin osittaisderivaatat saadaan tarkasti ilman, että kaavoja tarvitsee johtaa käsin.
Mitä gradienttivektorin pituus tarkoittaa?
Pituus |∇f| = √((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²) kertoo, kuinka jyrkästi funktio nousee gradientin suuntaan. Mitä suurempi pituus, sitä jyrkemmin funktion arvo kasvaa kyseisessä pisteessä.
Mihin gradienttia käytetään?
Gradienttia käytetään muun muassa funktion ääriarvojen etsimisessä, suunnatun derivaatan laskemisessa ja optimoinnissa. Esimerkiksi koneoppimisessa gradienttimenetelmä etsii funktion minimiä kulkemalla gradientin vastasuuntaan.
Lasketaanko kulmat asteina vai radiaaneina?
Trigonometriset funktiot lasketaan radiaaneina, kuten matemaattisessa analyysissä on tapana.
Oliko tästä laskurista apua?
