Funktio ja väli
Kirjoita funktio muuttujan x avulla (esim. sin(x), x^2). Käytä merkkejä + − * / ^ ja funktioita sin, cos, tan, ln, log, sqrt, exp sekä vakioita pi ja e.
Simpsonin sääntö ja trapetsisääntö
Laske määrätty integraali Simpsonin säännöllä valitulla osavälien määrällä ja vertaa tulosta trapetsisääntöön.
Simpsonin sääntö -laskuri – tarkkaa numeerista integrointia
Simpsonin sääntö -laskuri approksimoi määrätyn integraalin valitsemallasi osavälien määrällä ja näyttää samalla trapetsisäännön tuloksen vertailua varten. Näin näet konkreettisesti, kuinka paljon tarkempi Simpsonin sääntö on.
Mikä Simpsonin sääntö on?
Simpsonin sääntö on numeerisen integroinnin menetelmä, jossa funktion kuvaajaa approksimoidaan paraabelin kaarilla. Koska paraabeli mukailee käyrän kaarevuutta paljon paremmin kuin suora jana, Simpsonin sääntö antaa erittäin tarkan tuloksen jo kohtuullisella osavälien määrällä.
Simpsonin säännön kaava
Väli [a, b] jaetaan parilliseen määrään n osaväliä, joiden leveys on h = (b − a)/n. Integraali lasketaan painotettuna summana, jossa kertoimet noudattavat kuviota 1, 4, 2, 4, …, 4, 1.
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xn−1) + f(xn)]
Trapetsisääntö vertailuksi
Trapetsisääntö approksimoi käyrää suorilla janoilla eli puolisuunnikkailla. Se on yksinkertaisempi mutta epätarkempi kuin Simpsonin sääntö.
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2) · [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xn−1) + f(xn)]
Virhe ja tarkkuus
Simpsonin säännön virhe on suuruusluokkaa
E ≈ −(b − a) · h⁴ / 180 · f⁗(ξ)
jossa f⁗ on funktion neljäs derivaatta jossakin välin pisteessä ξ. Koska virhe pienenee suhteessa h⁴, osavälien kaksinkertaistaminen pienentää virheen noin kuudestoistaosaan. Trapetsisäännön virhe pienenee vain suhteessa h², joten Simpson on samalla työmäärällä paljon tarkempi.
Esimerkki: ∫₀^π sin(x) dx
Lasketaan funktion f(x) = sin(x) integraali välillä [0, π]. Tarkka arvo on 2. Simpsonin sääntö osavälien määrällä n = 10 antaa tuloksen noin 2,0001, kun taas trapetsisääntö samalla osavälien määrällä antaa noin 1,9835. Ero havainnollistaa Simpsonin säännön paremman tarkkuuden.
Esimerkki: ∫₀¹ x² dx
Funktion f(x) = x² integraali välillä [0, 1] on tarkasti 1/3 ≈ 0,333. Koska x² on toisen asteen polynomi, Simpsonin sääntö antaa täysin tarkan tuloksen jo osavälien määrällä n = 2.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on Simpsonin sääntö?
Simpsonin sääntö on numeerisen integroinnin menetelmä, jossa funktion kuvaajaa approksimoidaan paraabelin kaarilla suorien sijaan. Se on huomattavasti tarkempi kuin trapetsisääntö, koska se ottaa huomioon käyrän kaarevuuden.
Miksi osavälien määrän on oltava parillinen?
Simpsonin sääntö sovittaa paraabelin aina kahden peräkkäisen osavälin yli, joten osavälejä tarvitaan pareittain. Siksi osavälien määrän n on oltava parillinen. Laskuri pyöristää tarvittaessa seuraavaan parilliseen lukuun.
Mitä eroa on Simpsonin säännöllä ja trapetsisäännöllä?
Trapetsisääntö approksimoi käyrää suorilla janoilla (puolisuunnikkailla), Simpsonin sääntö paraabelin kaarilla. Simpsonin säännön virhe pienenee suhteessa h⁴, trapetsisäännön vain suhteessa h², joten Simpson on yleensä paljon tarkempi samalla osavälien määrällä.
Kuinka suuri Simpsonin säännön virhe on?
Virhe on suuruusluokkaa −(b − a)·h⁴/180 · f⁗(ξ), jossa h on osavälin leveys ja f⁗ funktion neljäs derivaatta jossakin välin pisteessä ξ. Käytännössä jo pienellä osavälien määrällä virhe on hyvin pieni, ja se pienenee nopeasti n:ää kasvattamalla.
Antaako Simpsonin sääntö aina tarkan tuloksen?
Polynomeille, joiden aste on enintään 3, Simpsonin sääntö antaa täysin tarkan tuloksen jo vähäiselläkin osavälien määrällä. Muille funktioille tulos on likiarvo, joka tarkentuu osavälejä lisättäessä.
Lasketaanko trigonometriset funktiot asteina vai radiaaneina?
Radiaaneina, kuten matemaattisessa analyysissä on tapana. Esimerkiksi ∫₀^π sin(x) dx = 2.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Määräämätön ja määrätty integraaliDerivoinnit ja integraalitDerivaatta ja osittaisderivaattaDerivoinnit ja integraalitDifferentiaaliyhtälön ratkaisijaEdistyneet laskutEulerin menetelmätEdistyneet laskutFunktioiden gradientti ja keskimääräinen muutosDerivoinnit ja integraalitImplisiittinen derivointiEdistyneet laskut
