Funktio ja rajat
Kirjoita funktio muuttujan x avulla (esim. x^2, sin(x)). Käytä merkkejä + − * / ^ ja funktioita sin, cos, tan, ln, log, sqrt, exp sekä vakioita pi ja e.
Integraalilaskuri
Laske määrätty integraali ∫ₐᵇ f(x) dx numeerisesti Simpsonin säännöllä – pinta-ala käyrän ja x-akselin välissä.
Integraalilaskuri – määrätty integraali numeerisesti
Integraalilaskuri laskee määrätyn integraalin eli pinta-alan funktion kuvaajan ja x-akselin välissä halutulla välillä. Laskuri sopii lukion ja korkeakoulun matematiikan tehtäviin sekä käsin lasketun integraalin tarkistamiseen.
Mitä määrätty integraali tarkoittaa?
Määrätty integraali ∫ₐᵇ f(x) dx kuvaa funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävää pinta-alaa välillä [a, b]. X-akselin yläpuolinen pinta-ala lasketaan positiivisena ja alapuolinen negatiivisena, joten tulos on etumerkillinen pinta-ala.
Simpsonin sääntö
Laskuri laskee integraalin numeerisesti Simpsonin säännöllä. Siinä integroimisväli jaetaan parilliseen määrään osavälejä, ja funktiota approksimoidaan paraabelin kaarilla. Menetelmä on huomattavasti tarkempi kuin suorakulmioihin perustuva Riemannin summa.
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) · [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xn−1) + f(xn)]
Tässä h = (b − a)/n on osavälin leveys ja kertoimet noudattavat kuviota 1, 4, 2, 4, …, 4, 1. Laskuri käyttää suurta osavälien määrää, joten tulos on käytännössä erittäin tarkka.
Esimerkki: ∫₀¹ x² dx
Lasketaan funktion f(x) = x² integraali välillä [0, 1]. Tarkka arvo saadaan integroimalla: ∫ x² dx = x³/3, joten ∫₀¹ x² dx = 1³/3 − 0 = 1/3 ≈ 0,333. Simpsonin sääntö antaa saman tuloksen.
Esimerkki: ∫₀^π sin(x) dx
Funktion f(x) = sin(x) integraali välillä [0, π] on ∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Trigonometriset funktiot lasketaan radiaaneina.
Integroinnin perusominaisuuksia
- Rajojen vaihto: ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵦᵃ f(x) dx, eli rajojen vaihtaminen kääntää etumerkin.
- Sama raja: ∫ₐᵃ f(x) dx = 0, koska väliä ei ole.
- Vakiokerroin: vakion voi siirtää integraalimerkin eteen, ∫ c·f(x) dx = c·∫ f(x) dx.
Tarkkuudesta
Simpsonin säännön virhe pienenee suhteessa h⁴, joten jo kohtuullisella osavälien määrällä tulos on tarkka useaan desimaaliin. Numeerinen menetelmä antaa kuitenkin aina likiarvon, ja jyrkät piikit tai epäjatkuvuuskohdat välillä voivat heikentää tarkkuutta.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä määrätty integraali tarkoittaa?
Määrätty integraali ∫ₐᵇ f(x) dx tarkoittaa pinta-alaa, joka jää funktion kuvaajan ja x-akselin väliin välillä [a, b]. X-akselin alapuolella oleva osuus lasketaan negatiivisena, joten tulos on ns. etumerkillinen pinta-ala.
Miten integraali lasketaan numeerisesti?
Laskuri käyttää Simpsonin sääntöä, jossa väli jaetaan pieniin osiin ja funktion kuvaajaa approksimoidaan paraabelin kaarilla. Menetelmä on erittäin tarkka: virhe pienenee suhteessa h⁴, kun osavälejä lisätään.
Mikä on Simpsonin säännön kaava?
Kaava on (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)], jossa h = (b − a)/n ja osavälien määrä n on parillinen. Kertoimet noudattavat kuviota 1, 4, 2, 4, …, 4, 1.
Voiko ylä- ja alaraja olla missä järjestyksessä tahansa?
Kyllä. Jos alaraja on ylärajaa suurempi, integraalin arvo vaihtaa merkkiä, sillä ∫ₐᵇ f(x) dx = −∫ᵦᵃ f(x) dx. Laskuri käsittelee tämän automaattisesti.
Miksi tulos voi poiketa hieman tarkasta arvosta?
Numeerinen integrointi antaa likiarvon. Tavallisille sileille funktioille tulos on tarkka useaan desimaaliin. Jos funktiolla on jyrkkiä piikkejä tai epäjatkuvuuksia välillä, tarkkuus voi heikentyä.
Lasketaanko trigonometriset funktiot asteina vai radiaaneina?
Radiaaneina, kuten matemaattisessa analyysissä on tapana. Esimerkiksi ∫₀^π sin(x) dx = 2, mikä on tunnettu tulos, kun kulma on radiaaneina.
Oliko tästä laskurista apua?
