Funktio ja väli
Kirjoita funktio muuttujan x avulla (esim. x^2, sin(x)). Käytä merkkejä + − * / ^ ja funktioita sin, cos, tan, ln, log, sqrt, exp sekä vakioita pi ja e.
Riemannin summa -laskuri
Approksimoi määrätty integraali Riemannin summalla: valitse vasen-, oikea- tai keskipistesumma ja suorakulmioiden määrä n.
Riemannin summa -laskuri – pinta-ala suorakulmioilla
Riemannin summa -laskuri approksimoi määrätyn integraalin eli pinta-alan käyrän alla jakamalla välin suorakulmioihin. Laskuri havainnollistaa, miten integraali muodostuu, ja sopii erinomaisesti integraalin määritelmän opetteluun.
Mikä Riemannin summa on?
Riemannin summassa väli [a, b] jaetaan n yhtä leveään osaväliin. Kunkin osavälin kohdalle piirretään suorakulmio, jonka korkeus saadaan funktion arvosta valitussa näytepisteessä. Suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala approksimoi todellista integraalia. Kun osavälejä lisätään, summa lähestyy tarkkaa arvoa.
Riemannin summan kaava
Suorakulmion leveys on Δx = (b − a)/n, ja summa lasketaan laskemalla yhteen suorakulmioiden pinta-alat.
Summa = Δx · [f(x₁) + f(x₂) + … + f(xn)]
Vasen, oikea ja keskipiste
Menetelmät eroavat näytepisteen sijainnista osavälillä:
- Vasen summa: korkeus mitataan osavälin vasemmasta reunasta, xᵢ = a + (i − 1)·Δx.
- Oikea summa: korkeus mitataan osavälin oikeasta reunasta, xᵢ = a + i·Δx.
- Keskipistesumma: korkeus mitataan osavälin keskeltä, xᵢ = a + (i − 0,5)·Δx. Tämä antaa yleensä tarkimman tuloksen.
Esimerkki: f(x) = x², väli [0, 1], n = 4
Suorakulmion leveys on Δx = (1 − 0)/4 = 0,25.
- Vasen summa: 0,25 · (f(0) + f(0,25) + f(0,5) + f(0,75)) = 0,25 · (0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625) = 0,219.
- Oikea summa: 0,25 · (f(0,25) + f(0,5) + f(0,75) + f(1)) = 0,25 · (0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1) = 0,469.
- Keskipistesumma: 0,25 · (f(0,125) + f(0,375) + f(0,625) + f(0,875)) = 0,328.
Tarkka integraali on ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0,333. Keskipistesumma osuu lähimmäs, ja vasen ja oikea summa jäävät sen molemmin puolin.
Yhteys integraaliin
Kun suorakulmioiden määrä n kasvaa rajatta, Riemannin summa suppenee tarkkaan integraaliin. Juuri tämä raja-arvo on määrätyn integraalin määritelmä. Tarkemman tuloksen saa kasvattamalla osavälien määrää tai käyttämällä Simpsonin sääntöä, joka approksimoi käyrää paraabelin kaarilla.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on Riemannin summa?
Riemannin summa on tapa approksimoida pinta-alaa funktion kuvaajan ja x-akselin välissä. Väli [a, b] jaetaan n yhtä leveään osaan, ja kunkin osavälin kohdalle piirretään suorakulmio, jonka korkeus saadaan funktion arvosta. Suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on summan arvo.
Mitä eroa on vasemmalla, oikealla ja keskipistesummalla?
Ne eroavat siinä, mistä kohtaa suorakulmion korkeus mitataan. Vasemmassa summassa näytepiste on osavälin vasemmassa reunassa, oikeassa summassa oikeassa reunassa ja keskipistesummassa osavälin keskellä. Keskipistesumma antaa yleensä tarkimman tuloksen.
Mikä on Riemannin summan kaava?
Summa = Δx · (f(x₁) + f(x₂) + … + f(xₙ)), jossa Δx = (b − a)/n on suorakulmion leveys. Vasemmassa summassa xᵢ = a + (i−1)·Δx, oikeassa xᵢ = a + i·Δx ja keskipistesummassa xᵢ = a + (i−0,5)·Δx.
Miksi suorakulmioiden määrää kannattaa kasvattaa?
Mitä enemmän suorakulmioita käytetään, sitä tarkemmin summa lähestyy todellista integraalin arvoa. Kun n kasvaa rajatta, Riemannin summa suppenee tarkkaan integraaliin – tämä on integraalin määritelmän perusta.
Antaako vasen vai oikea summa suuremman arvon?
Se riippuu funktiosta. Nousevalla funktiolla oikea summa on suurempi ja vasen pienempi; laskevalla funktiolla päinvastoin. Todellinen integraali jää näiden kahden väliin, ja keskipistesumma osuu yleensä lähimmäs.
Lasketaanko trigonometriset funktiot asteina vai radiaaneina?
Radiaaneina, kuten matemaattisessa analyysissä on tapana.
Oliko tästä laskurista apua?
