Käyrä F(x, y) = 0
Kirjoita lauseke F(x, y) niin, että käyrä on F(x, y) = 0. Käytä muuttujia x ja y, merkkejä + − * / ja ^ sekä funktioita sin, cos, exp, ln, sqrt. Esimerkiksi "x^2 + y^2 - 25".
Esimerkkejä:
Implisiittinen derivointi
Laske implisiittisesti annetun käyrän F(x, y) = 0 kulmakerroin dy/dx halutussa pisteessä numeerisesti.
Implisiittinen derivointi – käyrän kulmakerroin dy/dx
Kaikkia tasokäyriä ei voi esittää muodossa y = f(x). Esimerkiksi ympyrä, ellipsi ja monet muut käyrät annetaan yhtälönä F(x, y) = 0, jossa x ja y esiintyvät sekaisin. Implisiittinen derivointi kertoo tällaisen käyrän kulmakertoimen dy/dx halutussa pisteessä. Laskuri arvioi tarvittavat osittaisderivaatat numeerisesti, joten saat tuloksen kirjoittamalla vain käyrän lausekkeen ja pisteen.
Idea ja kaava
Kun yhtälö F(x, y) = 0 derivoidaan x:n suhteen ja otetaan huomioon, että y on x:n funktio, saadaan ketjusäännöllä:
Fx + Fy · (dy/dx) = 0
Tästä kulmakerroin ratkeaa:
dy/dx = −Fx ÷ Fy
Tässä Fx on F:n osittaisderivaatta x:n suhteen (y pidetään vakiona) ja Fy osittaisderivaatta y:n suhteen (x pidetään vakiona).
Osittaisderivaatat numeerisesti
Laskuri laskee osittaisderivaatat keskeisdifferenssillä, eli vertaamalla F:n arvoja pisteen molemmin puolin:
Fx ≈ [F(x + h, y) − F(x − h, y)] ÷ (2h)
Fy ≈ [F(x, y + h) − F(x, y − h)] ÷ (2h)
Pienellä siirtymällä h tämä antaa tarkan likiarvon sileille käyrille.
Laskettu esimerkki
Tarkastellaan ympyrää x² + y² = 25 eli F(x, y) = x² + y² − 25, pisteessä (3, 4).
- Fx = 2x = 2 · 3 = 6.
- Fy = 2y = 2 · 4 = 8.
- Kulmakerroin dy/dx = −6 ÷ 8 = −0,75.
Tangentti pisteessä (3, 4) on siis laskeva, kulmakertoimella −0,75. Pisteessä (0, 5) puolestaan Fx = 0 eli tangentti on vaakasuora ja dy/dx = 0; pisteessä (5, 0) Fy = 0 ja tangentti on pystysuora.
Tangentin yhtälö
Kun kulmakerroin k = dy/dx tunnetaan pisteessä (x0, y0), tangenttisuora on:
y − y0 = k · (x − x0)
Käytön huomioita
- Pisteen on oltava käyrällä: anna piste, joka toteuttaa F(x, y) = 0; laskuri näyttää myös F:n arvon tarkistusta varten.
- Pystysuora tangentti: jos Fy = 0, kulmakerroin on ääretön eikä dy/dx ole määritelty.
- Sileät käyrät: menetelmä edellyttää, että F on jatkuvasti derivoituva pisteen ympäristössä.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä implisiittinen derivointi tarkoittaa?
Implisiittinen derivointi on tapa laskea kulmakerroin dy/dx, kun y:tä ei ole ratkaistu erikseen x:n funktiona vaan käyrä on annettu muodossa F(x, y) = 0. Tällaisia ovat esimerkiksi ympyrä x² + y² = r² ja monet muut tasokäyrät, joita ei voi esittää yhtenä funktiona y = f(x).
Mikä on kaava dy/dx = −Fx/Fy?
Kun yhtälö F(x, y) = 0 derivoidaan x:n suhteen ja muistetaan, että y riippuu x:stä, saadaan Fx + Fy·(dy/dx) = 0. Tästä ratkeaa dy/dx = −Fx ÷ Fy, jossa Fx on osittaisderivaatta x:n suhteen ja Fy y:n suhteen. Kaava pätee pisteissä, joissa Fy ei ole nolla.
Miksi laskuri arvioi derivaatat numeerisesti?
Laskuri laskee osittaisderivaatat keskeisdifferenssillä eli vertaamalla F:n arvoja pisteen molemmin puolin pienellä siirtymällä. Tämä antaa tarkan likiarvon ilman, että lauseketta tarvitsee derivoida symbolisesti, ja toimii kaikille tavallisille sileille käyrille.
Mitä tarkoittaa, jos Fy on nolla?
Jos osittaisderivaatta Fy on nolla pisteessä, kaavan jakaja häviää eikä dy/dx ole äärellinen. Geometrisesti käyrällä on tällöin pystysuora tangentti. Esimerkiksi ympyrällä pisteissä (±r, 0) tangentti on pystysuora ja kulmakerroin ääretön. Laskuri ilmoittaa tästä erikseen.
Pitääkö pisteen olla käyrällä?
Kulmakerroin on mielekäs vain käyrän F(x, y) = 0 pisteissä, joten anna piste, joka toteuttaa yhtälön. Laskuri näyttää myös F:n arvon annetussa pisteessä: jos se poikkeaa selvästi nollasta, piste ei ole käyrällä ja kulmakerroin koskee tällöin tasa-arvokäyrää F(x, y) = vakio kyseisen pisteen kautta.
Oliko tästä laskurista apua?
