Havaintopisteet (x, y)
Kirjoita yksi piste riville muodossa "x, y". Erottimena voi käyttää pilkkua, välilyöntiä tai sarkainta. Desimaalit pisteellä, esimerkiksi 1.5.
Lineaarinen regressio
Laske lineaarinen regressio: sovita pienimmän neliösumman suora y = ax + b pistejoukkoon ja näe kulmakerroin, vakiotermi ja korrelaatio.
Lineaarinen regressio – paras suora pistejoukkoon
Lineaarinen regressio sovittaa havaintopareihin (x, y) parhaiten sopivan suoran ja kuvaa näin kahden muuttujan välistä yhteyttä. Tämä laskuri käyttää pienimmän neliösumman menetelmää ja antaa suoran yhtälön, korrelaation, selitysasteen ja jäännösneliösumman. Voit myös ennustaa y:n arvon valitulle x:lle.
Pienimmän neliösumman suora
Suora valitaan niin, että havaintojen ja suoran pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on pienin mahdollinen. Suoran yhtälö on:
y = ax + b
Kulmakerroin ja vakiotermi saadaan kaavoilla:
a = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ Σ(xᵢ − x̄)²
b = ȳ − a · x̄
Tässä x̄ ja ȳ ovat x- ja y-arvojen keskiarvot.
Korrelaatio ja selitysaste
Pearsonin korrelaatiokerroin mittaa yhteyden voimakkuutta ja suuntaa:
r = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ √[Σ(xᵢ − x̄)² × Σ(yᵢ − ȳ)²]
Selitysaste on korrelaation neliö ja kertoo, kuinka suuri osa y:n vaihtelusta selittyy mallilla:
r² = r × r
Laskettu esimerkki
Otetaan pisteet (1, 2), (2, 4) ja (3, 6).
- Keskiarvot: x̄ = 2, ȳ = 4.
- Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = (−1)(−2) + 0 + (1)(2) = 4.
- Σ(xᵢ − x̄)² = 1 + 0 + 1 = 2.
- Kulmakerroin a = 4 ÷ 2 = 2, vakiotermi b = 4 − 2 × 2 = 0.
- Suora on y = 2x ja korrelaatio r = 1 (täydellinen nouseva yhteys).
Jäännökset ja sovituksen hyvyys
Jokaisen pisteen jäännös on havaitun ja ennustetun arvon erotus eᵢ = yᵢ − (axᵢ + b). Jäännösneliösumma on näiden neliöiden summa Σeᵢ², ja juuri sen pienimmän neliösumman menetelmä minimoi. Pieni jäännösneliösumma ja korkea selitysaste kertovat hyvästä sovituksesta.
Tulkinnan rajat
- Korrelaatio ei ole syy-seuraussuhde: vahva yhteys ei todista, että toinen muuttuja aiheuttaa toisen.
- Vain suoraviivainen yhteys: regressiosuora ei tavoita käyräviivaista riippuvuutta – tällöin kannattaa kokeilla kvadraattista regressiota.
- Ekstrapolointi: ennusteet havaintovälin ulkopuolella ovat epävarmoja.
- Poikkeavat havainnot voivat vääristää sekä suoraa että korrelaatiota voimakkaasti.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä lineaarinen regressio tekee?
Lineaarinen regressio etsii pisteisiin parhaiten sopivan suoran y = ax + b. Suora valitaan pienimmän neliösumman menetelmällä eli niin, että pisteiden ja suoran pystysuuntaisten etäisyyksien (jäännösten) neliöiden summa on mahdollisimman pieni. Suoraa voi käyttää ennustamaan y:n arvon annetulle x:lle.
Mitä kulmakerroin ja vakiotermi kertovat?
Kulmakerroin a kertoo, kuinka paljon y muuttuu keskimäärin, kun x kasvaa yhdellä yksiköllä. Vakiotermi b on suoran ja y-akselin leikkauspiste eli y:n arvo, kun x = 0. Yhdessä ne määräävät suoran y = ax + b.
Mitä korrelaatiokerroin r ja selitysaste r² tarkoittavat?
Korrelaatiokerroin r kuvaa lineaarisen yhteyden voimakkuutta ja suuntaa välillä −1…1. Arvo lähellä ±1 tarkoittaa vahvaa yhteyttä, lähellä nollaa heikkoa. Selitysaste r² on r:n neliö ja kertoo, kuinka suuri osuus y:n vaihtelusta selittyy x:n avulla – esimerkiksi r² = 0,9 tarkoittaa, että vaihtelusta selittyy 90 %.
Mikä on jäännösneliösumma?
Jäännösneliösumma (SSE) on suoran ja havaintojen pystysuuntaisten erojen neliöiden summa. Se on juuri se suure, jonka pienimmän neliösumman menetelmä minimoi. Mitä pienempi SSE on, sitä paremmin suora sopii pisteisiin.
Kuinka monta pistettä tarvitaan?
Suoran sovittamiseen riittää kaksi pistettä, mutta luotettava korrelaatio vaatii enemmän havaintoja. Lisäksi x-arvoissa on oltava vaihtelua: jos kaikki x-arvot ovat samat, kulmakerrointa ei voi laskea, koska suora olisi pystysuora.
Oliko tästä laskurista apua?
Kokeile näitä laskureita
Regressio- ja korrelaatiolaskuritTilastot ja todennäköisyysKvadraattinen regressioEdistyneet laskutKeskiarvo prosenttilaskuriProsentit ja suhteetPainotettu keskiarvoTilastot ja todennäköisyysDerivaatta ja osittaisderivaattaDerivoinnit ja integraalitKeskiarvo, mediaani, moodiTilastot ja todennäköisyys
