Havaintopisteet (x, y)
Kirjoita yksi piste riville muodossa "x, y". Erottimena voi käyttää pilkkua, välilyöntiä tai sarkainta. Tarvitset vähintään kolme pistettä, joilla on eri x-arvot.
Kvadraattinen regressio
Laske kvadraattinen regressio: sovita toisen asteen käyrä y = ax² + bx + c pistejoukkoon pienimmän neliösumman menetelmällä.
Kvadraattinen regressio – paras paraabeli pistejoukkoon
Kvadraattinen regressio sovittaa havaintopareihin (x, y) parhaiten sopivan toisen asteen käyrän. Se sopii tilanteisiin, joissa muuttujien yhteys on kaareva eikä suora riitä – esimerkiksi kun kasvu kiihtyy tai aineistossa on selvä huippu- tai pohjakohta. Laskuri antaa käyrän yhtälön, kertoimet, selitysasteen ja jäännösneliösumman.
Toisen asteen malli
Sovitettava käyrä on muotoa:
y = ax² + bx + c
Kertoimet a, b ja c valitaan pienimmän neliösumman menetelmällä niin, että pisteiden ja käyrän pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on pienin mahdollinen.
Normaaliyhtälöt
Kertoimet saadaan ratkaisemalla kolmen yhtälön ryhmä, joka kootaan aineiston summista:
a·Σx⁴ + b·Σx³ + c·Σx² = Σx²y
a·Σx³ + b·Σx² + c·Σx = Σxy
a·Σx² + b·Σx + c·n = Σy
Tämä lineaarinen yhtälöryhmä ratkaistaan Gaussin eliminoinnilla, jolloin saadaan kertoimet a, b ja c.
Selitysaste
Sovituksen hyvyyttä mitataan selitysasteella, joka vertaa jäännösneliösummaa y:n kokonaisvaihteluun:
r² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² ÷ Σ(yᵢ − ȳ)²
Arvo lähellä yhtä tarkoittaa, että käyrä selittää suuren osan y:n vaihtelusta.
Laskettu esimerkki
Otetaan pisteet (0, 0), (1, 1), (2, 4) ja (3, 9), jotka noudattavat tarkasti yhtälöä y = x².
- Normaaliyhtälöiden ratkaisu antaa a = 1, b = 0 ja c = 0.
- Sovitettu käyrä on y = x² ja selitysaste r² = 1.
Toinen esimerkki: pisteille (0, 1), (1, 0), (2, 3) ja (3, 10) tulos on y = 2x² − 3x + 1.
Käytön huomioita
- Ylisovitus: korkeamman asteen malli sopii aina vähintään yhtä hyvin, mutta voi mukautua satunnaisvaihteluun. Valitse malli, joka kuvaa ilmiötä mielekkäästi.
- Ekstrapolointi: paraabeli kääntyy lopulta jyrkästi, joten ennusteet havaintovälin ulkopuolella ovat erityisen epävarmoja.
- Skaalaus: hyvin suuret x-arvot kasvattavat Σx⁴-termiä voimakkaasti; tarvittaessa x-arvot voi siirtää lähemmäs nollaa.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä kvadraattinen regressio tekee?
Kvadraattinen regressio sovittaa pisteisiin parhaiten sopivan toisen asteen käyrän y = ax² + bx + c. Käyrä valitaan pienimmän neliösumman menetelmällä eli niin, että pisteiden ja käyrän pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on mahdollisimman pieni. Se sopii tilanteisiin, joissa yhteys ei ole suoraviivainen vaan kaareva.
Milloin kannattaa käyttää kvadraattista regressiota lineaarisen sijaan?
Kvadraattinen regressio kannattaa, kun pisteet muodostavat selvästi kaarevan kuvion – esimerkiksi kasvun kiihtymisen, huippukohdan tai pohjan. Jos pisteet asettuvat suunnilleen suoralle, lineaarinen regressio on yksinkertaisempi ja riittävä. Käyrän muotoa voi arvioida piirtämällä pisteet ja vertaamalla selitysasteita.
Miten kertoimet a, b ja c lasketaan?
Kertoimet ratkaistaan kolmen normaaliyhtälön ryhmästä, joka muodostetaan summista Σx, Σx², Σx³, Σx⁴, Σy, Σxy ja Σx²y. Tämä lineaarinen yhtälöryhmä ratkaistaan Gaussin eliminoinnilla, jolloin saadaan kertoimet a, b ja c yksikäsitteisesti, kun pisteitä on tarpeeksi ja x-arvot vaihtelevat.
Mitä selitysaste r² kertoo?
Selitysaste r² kuvaa, kuinka suuri osuus y:n vaihtelusta selittyy sovitetulla käyrällä. Arvo 1 tarkoittaa täydellistä sovitusta ja 0 sitä, ettei malli selitä vaihtelua lainkaan. Esimerkiksi r² = 0,95 tarkoittaa, että 95 % vaihtelusta selittyy käyrällä.
Kuinka monta pistettä tarvitaan?
Toisen asteen käyrän määräämiseen tarvitaan vähintään kolme pistettä, joilla on eri x-arvot. Luotettavampaan sovitukseen kannattaa käyttää useampaa havaintoa. Jos x-arvoja on vähän tai ne ovat lähes samat, kertoimet voivat olla epävakaita.
Oliko tästä laskurista apua?
