Suuntaissärmiön tilavuus

Laske kolmen vektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuus skalaarikolmitulolla – syötä vektorit a, b ja c.

Suuntaissärmiön tilavuus -laskuri

Syötä kolmen 3D-vektorin a, b ja c koordinaatit. Tilavuus lasketaan skalaarikolmitulosta ja näkyy oikealla. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.

Vektori a

Vektori b

Vektori c

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Suuntaissärmiön tilavuus – skalaarikolmitulo

    Tällä laskurilla lasket kolmen vektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuuden skalaarikolmitulon avulla. Skalaarikolmitulo on elegantti tapa laskea tilavuus suoraan vektorien koordinaateista. Syötä vektorien a, b ja c koordinaatit, niin näet tilavuuden, skalaarikolmitulon ja ristitulon heti.

    Mikä on suuntaissärmiö?

    Suuntaissärmiö on kolmiulotteinen kappale, jonka tahkot ovat suunnikkaita. Se virittyy kolmesta vektorista a, b ja c, jotka lähtevät samasta kärjestä ja muodostavat kappaleen särmät. Tutut kappaleet kuten kuutio ja suorakulmainen särmiö ovat suuntaissärmiön erikoistapauksia, joissa vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

    Skalaarikolmitulo

    Suuntaissärmiön tilavuus saadaan skalaarikolmitulosta, joka yhdistää ristitulon ja pistetulon:

    a · (b × c)

    Ensin lasketaan vektorien b ja c ristitulo, joka on uusi vektori. Sitten otetaan tämän vektorin pistetulo vektorin a kanssa, jolloin tuloksena on yksittäinen luku. Skalaarikolmitulo on yhtä suuri kuin vektoreista riveiksi muodostetun matriisin determinantti.

    Tilavuuden kaava

    Suuntaissärmiön tilavuus on skalaarikolmitulon itseisarvo:

    V = |a · (b × c)| = |det([a; b; c])|

    Itseisarvo otetaan, koska kolmitulon etumerkki riippuu vektorien järjestyksestä ja kuvaa kappaleen orientaatiota, mutta tilavuus on aina ei-negatiivinen suure.

    Vaiheittainen esimerkki

    Lasketaan suuntaissärmiön tilavuus, kun a = (2, 0, 0), b = (0, 3, 0) ja c = (0, 0, 4).

    Koska vektorit ovat tässä kohtisuorassa toisiaan vastaan, kappale on suorakulmainen särmiö, jonka tilavuus 2 · 3 · 4 = 24 vastaa tulosta.

    Komplanaarisuus ja nollatilavuus

    Jos skalaarikolmitulo on nolla, myös tilavuus on nolla. Tällöin kolme vektoria ovat samassa tasossa eli komplanaarisia, ja ne ovat lineaarisesti riippuvia. Vektorit eivät viritä kolmiulotteista kappaletta, vaan litistyvät tasoon. Nollatilavuus on siis kätevä testi vektorien lineaariselle riippuvuudelle.

    Yhteys tetraedrin tilavuuteen

    Samoista vektoreista voidaan muodostaa myös tetraedri eli kolmisivuinen pyramidi. Tetraedrin tilavuus on kuudesosa suuntaissärmiön tilavuudesta:

    V_tetraedri = |a · (b × c)| / 6

    Tämä yhteys on hyödyllinen geometriassa ja tietokonegrafiikassa, jossa kappaleet jaetaan usein tetraedreihin.

    Mihin skalaarikolmituloa käytetään?

    Skalaarikolmituloa hyödynnetään tilavuuksien laskemisen lisäksi vektorien komplanaarisuuden tutkimiseen ja koordinaatiston kätisyyden eli orientaation määrittämiseen. Sitä sovelletaan fysiikassa esimerkiksi vääntömomenttien ja kenttien yhteydessä, geometriassa kappaleiden mallinnuksessa sekä tietokonegrafiikassa, jossa orientaatio ja tilavuudet ovat keskeisiä.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mikä on suuntaissärmiö?
    Suuntaissärmiö on kolmiulotteinen kappale, jonka kaikki kuusi tahkoa ovat suunnikkaita. Se voidaan ajatella kolmen vektorin a, b ja c virittämäksi: vektorit lähtevät samasta kärjestä ja muodostavat kappaleen särmät. Kuutio ja suorakulmainen särmiö ovat suuntaissärmiön erikoistapauksia.
    Mikä on skalaarikolmitulo?
    Skalaarikolmitulo on kolmen vektorin tulo, joka tuottaa yksittäisen luvun. Se lasketaan ottamalla ensin kahden vektorin ristitulo ja sitten tuloksen pistetulo kolmannen vektorin kanssa: a · (b × c). Skalaarikolmitulo on yhtä suuri kuin vektoreista riveiksi muodostetun matriisin determinantti.
    Miten tilavuus lasketaan kolmitulosta?
    Suuntaissärmiön tilavuus on skalaarikolmitulon itseisarvo: V = |a · (b × c)|. Itseisarvo otetaan, koska kolmitulo voi olla negatiivinen vektorien keskinäisestä järjestyksestä riippuen, mutta tilavuus on aina ei-negatiivinen. Tilavuus on siis sama kuin vektoreista muodostetun matriisin determinantin itseisarvo.
    Mitä tarkoittaa, jos tilavuus on nolla?
    Jos skalaarikolmitulo ja siten tilavuus on nolla, kolme vektoria ovat samassa tasossa eli komplanaarisia. Tällöin ne ovat lineaarisesti riippuvia eivätkä viritä kolmiulotteista kappaletta, vaan litistyvät tasoon. Nollatilavuus on siis merkki vektorien lineaarisesta riippuvuudesta.
    Mihin skalaarikolmituloa käytetään?
    Skalaarikolmituloa käytetään suuntaissärmiön ja tetraedrin tilavuuden laskemiseen (tetraedrin tilavuus on kuudesosa kolmitulon itseisarvosta), vektorien komplanaarisuuden tutkimiseen sekä koordinaatistojen orientaation eli kätisyyden määrittämiseen. Sitä hyödynnetään fysiikassa, geometriassa ja tietokonegrafiikassa.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    Puolipallon tilavuusTetraedrin tilavuusEllipsoidin tilavuusToruksen tilavuusUima-altaan tilavuusLieriön tilavuus ja pinta-ala -laskuriPallon tilavuus ja pinta-ala laskuriKuution tilavuus

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI