Ensimmäinen binomi (ax + b)
Toinen binomi (cx + d)
Esimerkki:
Binomien kertolasku -laskuri
Kerro kaksi binomia (ax + b)(cx + d) auki osittelulain avulla. Laskuri näyttää tulon ja osatulot.
Tulokset
Binomien kertolasku -laskuri
Tämä laskuri kertoo kaksi binomia muotoa (ax + b)(cx + d) auki osittelulain avulla. Tulokseksi saadaan sievennetty toisen asteen lauseke sekä kaikki neljä osatuloa erikseen.
Mikä binomi on?
Binomi on kahden termin summa, esimerkiksi x + 2 tai 3x − 5. Kahden binomin tulo avataan osittelulain avulla, jolloin syntyy toisen asteen lauseke.
Osittelulaki ja osatulot
Kertolasku tehdään niin, että ensimmäisen binomin kumpikin termi kerrotaan toisen binomin kummallakin termillä:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Näin syntyy neljä osatuloa, jotka kootaan yhteen ja yhdistetään samanmuotoiset termit.
Yleinen kaava
Kun binomit ovat (ax + b) ja (cx + d), tulos on:
(ax + b)(cx + d) = ac·x² + (ad + bc)·x + bd
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan (x + 2)(x + 3). Tässä a = 1, b = 2, c = 1 ja d = 3.
x · x = x²
x · 3 = 3x
2 · x = 2x
2 · 3 = 6
Yhdistetään samanmuotoiset termit 3x + 2x = 5x. Tulos on siis x² + 5x + 6.
Yhteys muistikaavoihin
Kun binomit ovat samat, saadaan neliön muistikaava (a + b)² = a² + 2ab + b². Kun ne ovat summa ja erotus, saadaan (a + b)(a − b) = a² − b². Nämä ovat osittelun erikoistapauksia, jotka kannattaa tunnistaa nopean laskemisen vuoksi.
Käyttökohteet
- Tekijämuodosta normaalimuotoon, kun nollakohdat tunnetaan.
- Toisen asteen lausekkeiden muodostaminen ja sieventäminen.
- Muistikaavojen ymmärtäminen osittelun erikoistapauksina.
Binomien kertolasku lukiossa
Binomien kertolasku kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) lausekkeiden käsittelyyn. Se on perusta muistikaavoille ja tekijöihinjaolle, ja sitä tarvitaan toisen asteen yhtälöiden ja funktioiden yhteydessä.
Usein kysytyt kysymykset
Miten kaksi binomia kerrotaan keskenään?
Binomien kertolasku tehdään osittelulain avulla: ensimmäisen binomin kumpikin termi kerrotaan toisen binomin kummallakin termillä. Näin syntyy neljä osatuloa, jotka yhdistetään samanmuotoiset termit kokoamalla.
Mikä on (ax + b)(cx + d):n yleinen tulos?
Yleinen tulos on (ax + b)(cx + d) = ac·x² + (ad + bc)·x + bd. Toisen asteen termin kerroin on ac, ensimmäisen asteen kerroin on ad + bc ja vakiotermi on bd.
Mikä on osittelulaki?
Osittelulaki tarkoittaa, että summan kertominen voidaan tehdä termi kerrallaan: a(b + c) = ab + ac. Kahdella binomilla tätä sovelletaan molempiin suuntiin, jolloin saadaan (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Miksi osatuloja on neljä?
Koska kummassakin binomissa on kaksi termiä, termipareja muodostuu 2 × 2 = 4. Jokainen ensimmäisen binomin termi kerrotaan erikseen toisen binomin molemmilla termeillä, joten osatuloja tulee neljä.
Voiko binomien tulon laskea muistikaavalla?
Kyllä, joissakin erikoistapauksissa. Jos binomit ovat samat, kyse on neliön muistikaavasta (a + b)² = a² + 2ab + b². Jos ne ovat summan ja erotuksen muotoa, pätee (a + b)(a − b) = a² − b². Muutoin käytetään yleistä osittelua.
Oliko tästä laskurista apua?