Kosinilause: c² = a² + b² − 2ab · cos C
Valitse, ratkaisetko kolmatta sivua vai kulmaa. Sivut samassa pituusyksikössä, kulma asteina.
Kosinilause-laskuri
Ratkaise yleisen kolmion sivu tai kulma kosinilauseella: c² = a² + b² − 2ab · cos C.
Tulokset
Kosinilause-laskuri
Kosinilause-laskuri ratkaisee yleisen kolmion tuntemattoman sivun tai kulman. Kosinilause on Pythagoraan lauseen yleistys, joka pätee kaikille kolmioille, ei vain suorakulmaisille.
Mikä kosinilause on?
Kosinilause yhdistää kolmion kolme sivua ja yhden kulman. Kun C on sivujen a ja b välinen kulma ja c on sen vastainen sivu:
c² = a² + b² − 2ab · cos C
Vastaavat kaavat pätevät muillekin kulmille: a² = b² + c² − 2bc · cos A ja b² = a² + c² − 2ac · cos B.
Kolmannen sivun ratkaiseminen (SAS)
Kun tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma, kolmas sivu saadaan ottamalla neliöjuuri:
c = √(a² + b² − 2ab · cos C)
Kulman ratkaiseminen (SSS)
Kun tunnetaan kaikki kolme sivua, mikä tahansa kulma saadaan ratkaisemalla kaavasta kosini:
cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) → C = arccos((a² + b² − c²) / (2ab))
Jos osoittaja on negatiivinen, kulma on tylppä eli suurempi kuin 90°.
Yhteys Pythagoraan lauseeseen
Kun kulma C on suora eli 90°, niin cos 90° = 0, ja kaava typistyy:
c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²
Tämä on Pythagoraan lause. Kosinilause on siis sen laajennus mihin tahansa kolmioon: termi −2ab · cos C korjaa tuloksen, kun kulma ei ole suora.
Vaiheittainen esimerkki
Kolmiossa a = 7, b = 9 ja niiden välinen kulma C = 50°. Ratkaistaan sivu c:
c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 50°
= 49 + 81 − 126 · 0,6428 ≈ 130 − 80,99 = 49,01
c = √49,01 ≈ 7,00
Kolmas sivu c on siis noin 7,00.
Kulman ratkaisemisen esimerkki
Sivut ovat a = 5, b = 6 ja c = 7. Ratkaistaan sivua c vastassa oleva kulma C:
cos C = (5² + 6² − 7²) / (2 · 5 · 6) = (25 + 36 − 49) / 60 = 12 / 60 = 0,2
C = arccos(0,2) ≈ 78,46°
Kolmion epäyhtälö
Kolmen sivun on toteutettava kolmion epäyhtälö: kahden sivun summa on aina suurempi kuin kolmas. Jos esimerkiksi sivut ovat 2, 3 ja 10, kolmiota ei ole olemassa, koska 2 + 3 < 10.
Kosinilause koulussa
Kosinilause kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometrian kurssille yhdessä sinilauseen kanssa. Sitä käytetään yleisen kolmion ratkaisemiseen, geometrian tehtävissä sekä vektoreiden yhteydessä. Aihe rakentuu Pythagoraan lauseen ja suorakulmaisen kolmion trigonometrian päälle.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä kosinilause on?
Kosinilause yhdistää kolmion kolme sivua ja yhden kulman: c² = a² + b² − 2ab · cos C, jossa C on sivujen a ja b välinen kulma ja c sen vastainen sivu. Se on Pythagoraan lauseen yleistys mille tahansa kolmiolle.
Milloin käytetään kosinilausetta eikä sinilausetta?
Kosinilausetta käytetään, kun tunnetaan kolme sivua (SSS) tai kaksi sivua ja niiden välinen kulma (SAS). Sinilause taas sopii, kun tunnetaan sivu ja sen vastainen kulma. Kosinilause on ainoa tapa aloittaa, jos vastinparia sivu–kulma ei tunneta.
Miten kosinilauseella ratkaistaan kulma?
Ratkaise kaavasta kulma: cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab), jolloin C = arccos((a² + b² − c²) ÷ (2ab)). Jos osoittaja on negatiivinen, kulma on tylppä (yli 90°). Esimerkiksi sivuilla 5, 6 ja 7 saadaan kullekin kolmiolle yksikäsitteiset kulmat.
Miten kosinilause liittyy Pythagoraan lauseeseen?
Kun kulma C on 90°, niin cos 90° = 0, ja kosinilause typistyy muotoon c² = a² + b². Se on siis täsmälleen Pythagoraan lause. Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen kaikille kolmioille, myös vinokulmaisille.
Voiko kolmen sivun yhdistelmä olla mahdoton?
Kyllä. Kolmion epäyhtälön mukaan minkä tahansa kahden sivun summan on oltava suurempi kuin kolmas sivu. Jos esimerkiksi sivut ovat 2, 3 ja 10, kolmiota ei ole olemassa, koska 2 + 3 < 10. Laskuri huomauttaa tällaisesta tapauksesta.
Oliko tästä laskurista apua?