Laske kertoma n!
Syötä ei-negatiivinen kokonaisluku. Suurilla luvuilla tulos näytetään myös kymmenpotenssimuodossa.
Pikavalinnat:
Kertoma-laskuri
Laske kertoma n! eli luvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Toimii myös suurilla luvuilla.
Tulokset
Kertoma-laskuri – laske n! helposti
Kertoma-laskuri laskee kertoman n! eli luvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulon. Laskuri toimii myös suurilla luvuilla ja näyttää tuloksen tarvittaessa kymmenpotenssimuodossa sekä kertoo numeroiden lukumäärän.
Mikä kertoma on?
Luvun n kertoma, merkitään n!, on luvun n ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1
Esimerkiksi 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Huutomerkki ei tarkoita tässä korostusta vaan on kertoman vakiintunut merkki.
Nollan kertoma
Sovitusti 0! = 1. Tämä saattaa tuntua oudolta, mutta se on välttämätön, jotta rekursiokaava n! = n · (n − 1)! pätee myös pienillä luvuilla:
1! = 1 · 0! = 1
Lisäksi tyhjän tulon (ei yhtään tekijää) arvoksi sovitaan aina 1, samaan tapaan kuin tyhjän summan arvo on 0.
Kertoma ja todennäköisyys
Kertoma vastaa kysymykseen: kuinka monella eri tavalla n eri esinettä voidaan asettaa järjestykseen? Vastaus on n!. Ensimmäiselle paikalle on n vaihtoehtoa, seuraavalle n − 1 ja niin edelleen.
Kertoma esiintyy myös permutaatioiden ja kombinaatioiden kaavoissa. Permutaatioiden määrä, kun n:stä valitaan k järjestyksessä:
P(n, k) = n! / (n − k)!
Kombinaatioiden määrä, kun järjestyksellä ei ole väliä:
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
Esimerkiksi lotossa valitaan 7 numeroa 40:stä, jolloin yhdistelmien määrä on C(40, 7) = 40! / (7! · 33!).
Kuinka nopeasti kertoma kasvaa?
Kertoma kasvaa erittäin nopeasti, sillä jokainen lisätty luku kertoo edellisen tuloksen:
- 5! = 120
- 10! = 3 628 800
- 13! = 6 227 020 800 (yli miljardi)
- 20! ≈ 2,43 · 10¹⁸
- 70! ≈ 1,20 · 10¹⁰⁰
Siksi suurten kertomien arvo esitetään usein kymmenpotenssimuodossa: tarkka luku voi sisältää satoja numeroita.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan 6! vaihe vaiheelta kertomalla luvut peräkkäin:
1 · 2 = 2 → · 3 = 6 → · 4 = 24 → · 5 = 120 → · 6 = 720
Siis 6! = 720. Tämä tarkoittaa, että 6 eri henkilöä voidaan asettaa jonoon 720 eri järjestyksessä.
Kertoma koulussa
Kertoma esitellään lukion todennäköisyyden ja tilastojen kursseilla (MAA ja MAB), kun käsitellään permutaatioita ja kombinaatioita. Käsite liittyy läheisesti klassiseen todennäköisyyteen, jossa lasketaan suotuisten ja kaikkien mahdollisten tapausten lukumääriä. Kertoman idea kertolaskun toistona tulee tutuksi jo aiemmin.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä kertoma tarkoittaa?
Kertoma n! tarkoittaa luvun n kertomista kaikilla sitä pienemmillä positiivisilla kokonaisluvuilla: n! = n · (n−1) · … · 2 · 1. Esimerkiksi 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Kertomaa käytetään erityisesti todennäköisyyslaskennassa.
Miksi 0! on yksi eikä nolla?
Sovitusti 0! = 1. Tämä on luonteva määritelmä, koska tyhjän tulon arvo on 1 ja koska se pitää voimassa kaavan n! = n · (n−1)!. Esimerkiksi 1! = 1 · 0! = 1, mikä toimii vain jos 0! = 1.
Voiko kertoman laskea negatiivisesta luvusta tai desimaalista?
Tavallinen kertoma on määritelty vain ei-negatiivisille kokonaisluvuille. Negatiivisille luvuille ja desimaaleille kertomaa vastaa gammafunktio, joka ei kuulu peruskoulun eikä lukion oppimäärään. Tämä laskuri laskee kertoman kokonaisluvuille 0, 1, 2, 3, …
Mihin kertomaa käytetään?
Kertoma kertoo, kuinka monella eri tavalla n eri esinettä voidaan järjestää jonoon. Esimerkiksi 5 kirjaa voi asettaa hyllyyn 5! = 120 eri järjestyksessä. Kertoma esiintyy permutaatioiden ja kombinaatioiden kaavoissa todennäköisyyslaskennassa.
Miksi kertoma kasvaa niin nopeasti?
Jokainen lisätty luku kertoo edellisen tuloksen, joten kasvu on erittäin nopeaa. Jo 13! ylittää miljardin ja 70! on suuruusluokkaa 10^100. Siksi suurten kertomien arvo esitetään usein kymmenpotenssimuodossa.
Oliko tästä laskurista apua?