Binomijakauma
Laske binomijakauman todennäköisyydet P(X = k) ja kertymät sekä odotusarvo ja keskihajonta, kun toistoja on n ja onnistumistodennäköisyys p.
Binomijakauma – onnistumiset toistuvassa kokeessa
Binomijakauma kuvaa onnistumisten lukumäärää, kun sama koe toistetaan riippumattomasti n kertaa ja jokaisen toiston onnistumistodennäköisyys on p. Se on yksi tilastotieteen tärkeimmistä jakaumista ja sopii tilanteisiin, joissa lopputulos on aina joko onnistuminen tai epäonnistuminen. Tällä laskurilla saat pistetodennäköisyyden, kertymät sekä jakauman tunnusluvut yhdellä syötöllä.
Milloin binomijakauma pätee?
- Toistoja on kiinteä määrä n.
- Jokaisella toistolla on vain kaksi tulosta: onnistuminen tai epäonnistuminen.
- Onnistumistodennäköisyys p on sama joka toistolla.
- Toistot ovat toisistaan riippumattomia.
Pistetodennäköisyys P(X = k)
Todennäköisyys saada täsmälleen k onnistumista lasketaan kaavalla:
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)
Tässä C(n, k) on binomikerroin eli kuinka monella tavalla k onnistumista voi sijoittua n toistoon.
Esimerkki: heitä kolikkoa 10 kertaa (p = 0,5). Todennäköisyys saada täsmälleen 5 kruunaa on C(10, 5) × 0,5^5 × 0,5^5 = 252 × 0,03125 × 0,03125 ≈ 0,246 eli noin 24,6 %.
Kertymätodennäköisyydet
Usein kiinnostaa, kuinka todennäköistä on saada enintään tai vähintään tietty määrä onnistumisia:
P(X ≤ k) = Σ P(X = i), kun i = 0 … k
P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
Laskuri näyttää sekä P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k) että P(X > k).
Odotusarvo ja hajonta
Binomijakauman tunnusluvut riippuvat suoraan parametreista n ja p:
Odotusarvo µ = n × p
Varianssi σ² = n × p × (1 − p)
Keskihajonta σ = √(n × p × (1 − p))
Esimerkki: kun n = 10 ja p = 0,5, odotusarvo on 5 ja keskihajonta √2,5 ≈ 1,58.
Approksimaatiot
Kun n on suuri ja sekä np että n(1 − p) ovat vähintään noin 5, binomijakaumaa voi approksimoida normaalijakaumalla, jonka keskiarvo on np ja keskihajonta √(np(1 − p)). Harvinaisille tapahtumille (pieni p, suuri n) Poisson-jakauma keskiarvolla λ = np on usein osuvampi.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Milloin sovelletaan binomijakaumaa?
Binomijakaumaa käytetään, kun koe toistetaan n kertaa riippumattomasti, jokaisella toistolla on vain kaksi tulosta (onnistuminen tai epäonnistuminen) ja onnistumistodennäköisyys p pysyy samana. Esimerkkejä ovat kolikonheitot, vikaprosentti tuotteissa tai kyselyn kyllä/ei-vastaukset.
Miten P(X = k) lasketaan?
Pistetodennäköisyys lasketaan kaavalla P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k), missä C(n, k) on binomikerroin. Esimerkiksi kun n = 10 ja p = 0,5, niin P(X = 5) = C(10, 5) × 0,5^5 × 0,5^5 = 252 × 0,03125 × 0,03125 ≈ 0,246.
Mikä on binomijakauman odotusarvo ja keskihajonta?
Odotusarvo eli keskimääräinen onnistumisten määrä on µ = n × p. Varianssi on σ² = n × p × (1 − p) ja keskihajonta σ = √(n × p × (1 − p)). Esimerkiksi kun n = 10 ja p = 0,5, odotusarvo on 5 ja keskihajonta noin 1,58.
Mitä eroa on P(X = k):lla ja P(X ≤ k):lla?
P(X = k) on todennäköisyys saada täsmälleen k onnistumista. P(X ≤ k) on kertymätodennäköisyys eli summa kaikista tuloksista 0:sta k:hon, eli todennäköisyys saada enintään k onnistumista. Laskuri näyttää molemmat sekä vastaavat ≥-todennäköisyydet.
Voiko binomijakauman korvata normaalijakaumalla?
Kun n on suuri ja np sekä n(1 − p) ovat molemmat vähintään noin 5, binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla, jonka keskiarvo on np ja keskihajonta √(np(1 − p)). Harvinaisille tapahtumille (pieni p, suuri n) Poisson-jakauma keskiarvolla np on usein parempi approksimaatio.
Oliko tästä laskurista apua?
