Funktio
Valitse funktio, jonka sarjakehitelmän haluat muodostaa.
Kehityskeskus ja termit
Funktioilla ln(1 + x) ja 1/(1 − x) kehityskeskus on aina a = 0.
Taylor- ja Maclaurin-sarjat
Muodosta yleisten funktioiden Taylor- tai Maclaurin-sarja haluamaasi pisteeseen ja vertaa likiarvoa tarkkaan arvoon.
Taylor- ja Maclaurin-sarjat – funktion sarjakehitelmä
Taylor-sarja esittää funktion potenssisummana kehityskeskuksen a ympärillä ja antaa keinon arvioida funktion arvoja polynomilla. Maclaurin-sarja on sen erikoistapaus keskuksella a = 0. Tämä laskuri muodostaa yleisten funktioiden sarjat halutulla termimäärällä ja näyttää, kuinka hyvin katkaistu summa vastaa funktion tarkkaa arvoa.
Taylor-sarjan kaava
Funktion f Taylor-sarja keskuksen a ympärillä on:
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a) ÷ n! · (x − a)ⁿ
eli auki kirjoitettuna f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)/2!·(x − a)² + … Kun a = 0, saadaan Maclaurin-sarja, jonka termit ovat muotoa f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ.
Tärkeitä Maclaurin-sarjoja
eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (−1 < x ≤ 1)
1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + … (−1 < x < 1)
Laskettu esimerkki
Arvioidaan e¹ Maclaurin-sarjalla (keskus a = 0):
- Termit: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + …
- Viidellä termillä summa on 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 ≈ 2,7083.
- Kymmenellä termillä summa on noin 2,71828, mikä vastaa tarkkaa arvoa e ≈ 2,71828.
Esimerkki näyttää, kuinka tarkkuus paranee, kun termejä lisätään.
Taylorin polynomi ja virhe
Kun sarja katkaistaan n termin jälkeen, saadaan Taylorin polynomi. Sen ja funktion erotus on jäännöstermi, joka pienenee, kun termejä lisätään tai kun piste x on lähempänä keskusta a. Laskuri näyttää tämän erotuksen, joten voit arvioida likiarvon tarkkuuden suoraan.
Suppeneminen
- eˣ, sin, cos: suppenevat kaikilla x:n arvoilla.
- ln(1 + x): suppenee, kun −1 < x ≤ 1.
- 1/(1 − x): suppenee, kun −1 < x < 1.
- Suppenemisvälin ulkopuolella likiarvo ei lähesty funktion arvoa, vaikka termejä lisättäisiin.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on Taylor-sarja?
Taylor-sarja esittää funktion äärettömänä potenssisummana kehityskeskuksen a ympärillä. Sarjan termit rakentuvat funktion derivaatoista pisteessä a kaavalla f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ. Mitä useampi termi otetaan mukaan, sitä tarkemmin katkaistu summa eli Taylorin polynomi vastaa funktiota lähellä keskusta.
Mitä eroa on Taylor- ja Maclaurin-sarjalla?
Maclaurin-sarja on Taylor-sarjan erikoistapaus, jossa kehityskeskus on a = 0. Taylor-sarja voidaan muodostaa minkä tahansa pisteen a ympärille. Maclaurin-sarja sopii hyvin pisteen x = 0 lähelle, kun taas yleinen Taylor-sarja kannattaa keskittää lähelle sitä kohtaa, jossa likiarvoa tarvitaan.
Mihin Taylor-sarjoja käytetään?
Taylor-sarjoilla approksimoidaan funktioita, joita ei voi laskea suoraan, ja niitä käytetään muun muassa raja-arvojen, integraalien ja differentiaaliyhtälöiden käsittelyssä. Tietokoneet ja laskimet laskevat monet funktiot, kuten sinin ja eksponenttifunktion, juuri sarjakehitelmien tai niihin pohjautuvien menetelmien avulla.
Kuinka monta termiä tarvitaan tarkkaan tulokseen?
Tarvittava termimäärä riippuu funktiosta ja siitä, kuinka kaukana piste x on keskuksesta a. Lähellä keskusta muutama termi riittää, mutta kaukana tarvitaan enemmän. Laskuri näyttää sarjan likiarvon ja tarkan arvon erotuksen, joten voit lisätä termejä, kunnes ero on riittävän pieni.
Suppeneeko sarja aina?
Ei aina. Esimerkiksi eˣ, sin ja cos suppenevat kaikilla x:n arvoilla, mutta esimerkiksi ln(1 + x):n ja geometrisen sarjan 1/(1 − x) suppenemisväli on rajallinen (−1 < x ≤ 1 tai −1 < x < 1). Suppenemisvälin ulkopuolella sarja ei lähesty funktion arvoa, vaikka termejä lisättäisiin.
Oliko tästä laskurista apua?
