Kulma x
Syötä kulma x ja valitse yksikkö. Laskuri laskee kulman puolikkaan x/2 arvot oikein etumerkein.
Pikakulmat (°):
Puolikulman kaava -laskuri
Laske kulman puolikkaan x/2 sini, kosini ja tangentti kulman x avulla kaavoilla sin(x/2) = ±√((1 − cos x) ÷ 2).
Tulokset
Puolikulman kaava -laskuri
Tämä laskuri laskee kulman puolikkaan x/2 sinin, kosinin ja tangentin kulman x avulla. Puolikulman kaavat ovat kaksinkertaisen kulman kaavojen vastinpari, ja niillä saadaan esimerkiksi puolitettujen kulmien tarkat arvot. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina.
Puolikulman kaavat
Kulman x/2 arvot saadaan kulman x kosinista ja sinistä:
sin(x/2) = ±√((1 − cos x) ÷ 2)
cos(x/2) = ±√((1 + cos x) ÷ 2)
tan(x/2) = (1 − cos x) ÷ sin x = sin x ÷ (1 + cos x)
Etumerkin valinta
Sinin ja kosinin kaavoissa neliöjuuren eteen tulee plus- tai miinusmerkki. Etumerkki määräytyy sen mukaan, missä neljänneksessä puolikulma x/2 sijaitsee:
- I neljännes (0°–90°): sin(x/2) +, cos(x/2) +
- II neljännes (90°–180°): sin(x/2) +, cos(x/2) −
- III neljännes (180°–270°): sin(x/2) −, cos(x/2) −
- IV neljännes (270°–360°): sin(x/2) −, cos(x/2) +
Tangentin kaavoissa etumerkkiä ei tarvitse valita erikseen, koska ne sisältävät sinin ja kosinin etumerkit jo valmiiksi.
Mistä kaava johdetaan
Puolikulman kaavat seuraavat kosinin kaksinkertaisen kulman kaavoista. Asetetaan kaavassa kulma puolikkaaksi:
cos x = 1 − 2 sin²(x/2) ⟹ sin²(x/2) = (1 − cos x) ÷ 2
cos x = 2 cos²(x/2) − 1 ⟹ cos²(x/2) = (1 + cos x) ÷ 2
Neliöjuuren ottaminen antaa varsinaiset puolikulman kaavat.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan kulman x = 60° puolikkaan arvot, eli kulman x/2 = 30°. Tällöin cos 60° = 0,5 ja sin 60° ≈ 0,866.
sin(x/2) = √((1 − 0,5) ÷ 2) = √0,25 = 0,5
cos(x/2) = √((1 + 0,5) ÷ 2) = √0,75 ≈ 0,866
tan(x/2) = (1 − 0,5) ÷ 0,866 ≈ 0,577
Tulokset ovat tasan sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,866 ja tan 30° ≈ 0,577, koska puolikulma on 30°.
Tarkkojen arvojen laskeminen
Puolikulman kaavalla saadaan tarkkoja arvoja kulmille, jotka ovat tuttujen kulmien puolikkaita. Esimerkiksi kulma 15° on 30°:n puolikas, joten sin 15° = √((1 − cos 30°) ÷ 2) = √((1 − √3 ÷ 2) ÷ 2). Näin trigonometriset arvot voidaan ilmaista tarkasti juurilausekkeina ilman laskinta.
Puolikulman kaava koulussa
Puolikulman kaavat kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometrian kursseihin. Niitä tarvitaan tarkkojen arvojen laskemisessa, trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja integroinnissa, jossa esimerkiksi sin²x korvataan muodolla (1 − cos 2x) ÷ 2. Kaavat liittyvät tiiviisti kaksinkertaisen kulman kaavoihin.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on puolikulman kaava?
Puolikulman kaavoilla lasketaan kulman x/2 trigonometriset arvot kulman x avulla. Sinille pätee sin(x/2) = ±√((1 − cos x) ÷ 2) ja kosinille cos(x/2) = ±√((1 + cos x) ÷ 2). Etumerkki riippuu siitä, missä neljänneksessä puolikulma x/2 sijaitsee.
Miten etumerkki valitaan?
Neliöjuuren etumerkki valitaan sen mukaan, mihin neljännekseen kulma x/2 osuu. Esimerkiksi jos x/2 on toisessa neljänneksessä, sini on positiivinen ja kosini negatiivinen. Tämä laskuri laskee suoraan oikean etumerkin, mutta käsin laskettaessa neljännes täytyy päätellä erikseen.
Mikä on tangentin puolikulman kaava?
Tangentin puolikulman kaava voidaan kirjoittaa kahdella tavalla, jotka eivät tarvitse etumerkin valintaa: tan(x/2) = (1 − cos x) ÷ sin x = sin x ÷ (1 + cos x). Molemmat antavat saman tuloksen. Kaava ei ole määritelty, kun cos(x/2) = 0 eli x = 180° + k · 360°.
Mistä puolikulman kaava johdetaan?
Kaava johdetaan kosinin kaksinkertaisen kulman kaavoista cos 2θ = 1 − 2 sin²θ ja cos 2θ = 2 cos²θ − 1. Kun asetetaan θ = x/2 eli 2θ = x ja ratkaistaan sin(x/2) tai cos(x/2), saadaan puolikulman kaavat neliöjuuren avulla.
Mihin puolikulman kaavaa tarvitaan?
Puolikulman kaavoja käytetään trigonometristen tarkkojen arvojen laskemiseen (esimerkiksi sin 15°), yhtälöiden ratkaisemiseen sekä integroinnissa. Ne ovat osa lukion pitkän matematiikan trigonometriaa ja täydentävät kaksinkertaisen kulman kaavoja.
Oliko tästä laskurista apua?