Kulma x
Syötä kulma x ja valitse yksikkö. Laskuri laskee kulman 2x arvot.
Pikakulmat (°):
Kaksinkertaisen kulman kaava -laskuri
Laske kaksinkertaisen kulman 2x sini, kosini ja tangentti kulman x avulla kaavoilla sin 2x = 2 sin x cos x ja cos 2x = cos²x − sin²x.
Tulokset
Kaksinkertaisen kulman kaava -laskuri
Tämä laskuri laskee kulman 2x sinin, kosinin ja tangentin suoraan kulman x avulla. Kaksinkertaisen kulman kaavat ovat keskeinen työkalu, kun trigonometrisia lausekkeita sievennetään tai yhtälöitä ratkaistaan. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina.
Kaksinkertaisen kulman kaavat
Kulman 2x arvot saadaan kulman x sinistä ja kosinista seuraavasti:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos²x − sin²x
tan 2x = 2 tan x ÷ (1 − tan²x)
Kosinin kolme muotoa
Pythagoraan kaavan sin²x + cos²x = 1 avulla kosinin kaava voidaan kirjoittaa kolmella tavalla:
cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x = 2 cos²x − 1
Muodot 1 − 2 sin²x ja 2 cos²x − 1 ovat erityisen hyödyllisiä, koska niissä esiintyy vain sini tai vain kosini. Tämä helpottaa yhtälöiden ratkaisemista.
Mistä kaava johdetaan
Kaksinkertaisen kulman kaavat seuraavat suoraan summan kaavoista, kun molemmat kulmat ovat yhtä suuret:
sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x
cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos²x − sin²x
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan kulman x = 30° kaksinkertaisen kulman arvot. Tällöin sin 30° = 0,5 ja cos 30° ≈ 0,866.
sin 2x = 2 · 0,5 · 0,866 ≈ 0,866
cos 2x = 0,866² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5
tan 2x = 2 · 0,5774 ÷ (1 − 0,5774²) ≈ 1,732
Tulokset ovat tasan sin 60° ≈ 0,866, cos 60° = 0,5 ja tan 60° ≈ 1,732, kuten pitääkin, koska 2 · 30° = 60°.
Milloin tangentin kaava ei toimi
Tangentin kaava tan 2x = 2 tan x ÷ (1 − tan²x) menee määrittelemättömäksi kahdessa tilanteessa: kun cos x = 0 (jolloin tan x ei ole olemassa) ja kun tan²x = 1 eli x = 45° + k · 90°. Jälkimmäisessä nimittäjä 1 − tan²x on nolla. Näissä kohdissa tan 2x lasketaan tarvittaessa sinin ja kosinin kautta.
Kaksinkertaisen kulman kaava koulussa
Kaksinkertaisen kulman kaavat kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometrian kursseihin. Niitä tarvitaan trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, lausekkeiden sieventämisessä sekä integroinnissa, jossa esimerkiksi sin²x kirjoitetaan muodossa (1 − cos 2x) ÷ 2. Kaava liittyy kiinteästi summan ja erotuksen kaavoihin.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on kaksinkertaisen kulman kaava?
Kaksinkertaisen kulman kaavoilla lasketaan kulman 2x trigonometriset arvot kulman x avulla. Sinille pätee sin 2x = 2 sin x cos x ja kosinille cos 2x = cos²x − sin²x. Kaavat johdetaan summan kaavoista asettamalla molemmat kulmat yhtä suuriksi.
Mitkä ovat kosinin kaksinkertaisen kulman muodot?
Kosinin kaksinkertaisen kulman kaava voidaan kirjoittaa kolmella tavalla: cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x = 2 cos²x − 1. Kaikki antavat saman tuloksen, mutta eri muodot ovat käteviä eri tilanteissa, esimerkiksi yhtälöitä ratkaistaessa.
Mikä on tangentin kaksinkertaisen kulman kaava?
Tangentin kaksinkertaisen kulman kaava on tan 2x = 2 tan x ÷ (1 − tan²x). Se ei ole määritelty, kun cos x = 0 tai kun tan²x = 1 eli x = 45° + k · 90°, koska tällöin nimittäjä menee nollaksi.
Mistä kaksinkertaisen kulman kaava johdetaan?
Kaava saadaan summan kaavasta sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b asettamalla a = b = x, jolloin sin 2x = 2 sin x cos x. Samoin cos(a + b):stä saadaan cos 2x = cos²x − sin²x. Pythagoraan kaavalla siitä johdetaan myös muodot 1 − 2 sin²x ja 2 cos²x − 1.
Annetaanko kulma asteina vai radiaaneina?
Kaava toimii kummallakin yksiköllä, kunhan kulma ja tulos tulkitaan samassa yksikössä. Tässä laskurissa voit valita asteet tai radiaanit. Lukiossa kaavaa käytetään molemmilla; radiaanit ovat yleisiä esimerkiksi derivoinnissa.
Oliko tästä laskurista apua?