Laske suurin yhteinen tekijä
Syötä kaksi tai useampi positiivinen kokonaisluku pilkulla tai välilyönnillä eroteltuna, esimerkiksi 48, 36.
Pikavalinnat:
Suurin yhteinen tekijä (syt) -laskuri
Laske kahden tai useamman luvun suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. Näet myös, ovatko luvut keskenään jaottomia.
Tulokset
Suurin yhteinen tekijä (syt) -laskuri
Tämä laskuri laskee kahden tai useamman luvun suurimman yhteisen tekijän nopealla Eukleideen algoritmilla. Suurin yhteinen tekijä on lukuteorian peruskäsite, jota tarvitaan etenkin murtolukujen supistamisessa.
Mikä suurin yhteinen tekijä on?
Lukujen suurin yhteinen tekijä, lyhennettynä syt, on suurin kokonaisluku, joka jakaa kaikki annetut luvut tasan eli ilman jakojäännöstä.
syt(48, 36) = 12
Luku 12 jakaa sekä luvun 48 (48 = 12 · 4) että luvun 36 (36 = 12 · 3), eikä mikään sitä suurempi luku jaa molempia.
Laskeminen alkutekijöiden avulla
Yksi tapa on jakaa molemmat luvut alkutekijöihin ja ottaa yhteiset tekijät pienimmillä esiintyvillä potensseilla:
48 = 2⁴ · 3
36 = 2² · 3²
syt = 2² · 3 = 12
Yhteinen alkutekijä 2 esiintyy pienimmillään potenssissa 2² ja tekijä 3 potenssissa 3¹, joten syt = 2² · 3 = 12.
Eukleideen algoritmi
Suurilla luvuilla nopein menetelmä on Eukleideen algoritmi, joka perustuu jakojäännöksiin:
- Jaa suurempi luku pienemmällä ja ota jakojäännös.
- Korvaa suurempi luku pienemmällä ja pienempi jakojäännöksellä.
- Toista, kunnes jakojäännös on 0. Viimeinen nollasta poikkeava luku on syt.
syt(a, b) = syt(b, a mod b)
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan syt(48, 36) Eukleideen algoritmilla:
48 = 1 · 36 + 12 (jäännös 12)
36 = 3 · 12 + 0 (jäännös 0)
Jakojäännös tuli nollaksi, ja viimeinen nollasta poikkeava jäännös oli 12. Siis syt(48, 36) = 12.
Keskenään jaottomat luvut
Jos lukujen suurin yhteinen tekijä on 1, luvut ovat keskenään jaottomia eli suhteellisia alkulukuja. Niillä ei ole yhtään yhteistä alkutekijää.
syt(8, 15) = 1 → 8 ja 15 ovat keskenään jaottomia
Useampi luku kerralla
Useamman luvun syt lasketaan ottamalla syt kahdesta luvusta kerrallaan:
syt(24, 36, 60) = syt(syt(24, 36), 60) = syt(12, 60) = 12
Suurin yhteinen tekijä koulussa
Suurin yhteinen tekijä opitaan yläkoulun matematiikassa murtolukujen supistamisen yhteydessä: murtoluku saadaan supistettua kokonaan jakamalla osoittaja ja nimittäjä niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä. Lukiossa Eukleideen algoritmi ja jaollisuus kuuluvat pitkän matematiikan (MAA) lukuteorian aihepiiriin.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on suurin yhteinen tekijä?
Suurin yhteinen tekijä (syt) on suurin kokonaisluku, joka jakaa kaikki annetut luvut tasan ilman jakojäännöstä. Esimerkiksi lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen tekijä on 12, koska 12 on suurin luku, joka jakaa molemmat tasan.
Mikä on Eukleideen algoritmi?
Eukleideen algoritmi on nopea tapa laskea syt. Jaa suurempi luku pienemmällä ja ota jakojäännös. Korvaa suurempi luku pienemmällä ja pienempi jakojäännöksellä. Toista, kunnes jäännös on 0; viimeinen nollasta poikkeava luku on syt. Esimerkki: 48 ja 36 → 48 mod 36 = 12 → 36 mod 12 = 0 → syt = 12.
Mitä tarkoittaa, että luvut ovat keskenään jaottomia?
Kaksi lukua on keskenään jaottomia eli suhteellisia alkulukuja, jos niiden suurin yhteinen tekijä on 1. Niillä ei siis ole yhteisiä alkutekijöitä. Esimerkiksi 8 ja 15 ovat keskenään jaottomia, koska syt(8, 15) = 1, vaikka kumpikaan ei ole alkuluku.
Miten syt lasketaan useammalle kuin kahdelle luvulle?
Laske ensin kahden ensimmäisen luvun syt, ja laske sitten tuloksen ja seuraavan luvun syt, ja niin edelleen. Esimerkiksi syt(24, 36, 60) = syt(syt(24, 36), 60) = syt(12, 60) = 12.
Mihin suurinta yhteistä tekijää käytetään?
Syt:ää käytetään murtolukujen supistamiseen niin pitkälle kuin mahdollista: jaa osoittaja ja nimittäjä niiden syt:llä. Sitä tarvitaan myös jaollisuustehtävissä ja pienimmän yhteisen jaettavan laskennassa.
Oliko tästä laskurista apua?