Jaa luku alkutekijöihin
Syötä ykköstä suurempi kokonaisluku, niin saat sen alkutekijähajotelman.
Pikavalinnat:
Alkutekijähajotelma-laskuri
Jaa luku alkutekijöihinsä ja näe sen yksikäsitteinen alkutekijähajotelma, esimerkiksi 360 = 2³ · 3² · 5.
Tulokset
Alkutekijähajotelma-laskuri
Tämä laskuri jakaa luvun alkutekijöihinsä ja esittää tuloksen siistissä potenssimuodossa. Alkutekijähajotelma on lukuteorian perustyökalu, jota tarvitaan esimerkiksi murtolukujen supistamisessa sekä syt- ja pyj-laskuissa.
Mikä alkutekijähajotelma on?
Alkutekijähajotelma esittää luvun pelkästään alkulukujen tulona. Aritmetiikan peruslause takaa, että esitys on yksikäsitteinen:
Jokaisella kokonaisluvulla n > 1 on täsmälleen yksi alkutekijähajotelma.
Esimerkiksi 360 = 2³ · 3² · 5. Mikään muu alkulukujen yhdistelmä ei anna lukua 360, kun tekijöiden järjestyksellä ei ole väliä.
Mikä on alkuluku?
Alkuluku on ykköstä suurempi kokonaisluku, jolla on täsmälleen kaksi positiivista tekijää: 1 ja luku itse. Pienimmät alkuluvut ovat:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 …
Luku 2 on ainoa parillinen alkuluku. Lukua 1 ei lasketa alkuluvuksi, koska sillä on vain yksi tekijä.
Näin luku jaetaan alkutekijöihin
Jaa luku toistuvasti pienimmällä alkuluvulla, joka menee tasan, kunnes osamääräksi jää 1. Tätä kutsutaan jakomenetelmäksi:
- Kokeile ensin lukua 2 niin monta kertaa kuin se menee tasan.
- Siirry seuraavaan alkulukuun 3, sitten 5, 7 ja niin edelleen.
- Kokoa kaikki käytetyt alkutekijät tuloksi ja kirjoita toistuvat tekijät potenssina.
Vaiheittainen esimerkki
Jaetaan 360 alkutekijöihin jakamalla peräkkäin:
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
Käytetyt alkutekijät ovat 2, 2, 2, 3, 3 ja 5. Kootaan ne potenssimuotoon:
360 = 2³ · 3² · 5
Tarkistus: 2³ = 8, 3² = 9, ja 8 · 9 · 5 = 360. Hajotelma on oikein.
Mihin alkutekijähajotelmaa käytetään?
- Suurin yhteinen tekijä (syt): ota lukujen yhteiset alkutekijät pienimmillä potensseilla.
- Pienin yhteinen jaettava (pyj): ota kaikki esiintyvät alkutekijät suurimmilla potensseilla.
- Murtolukujen supistaminen: osoittajan ja nimittäjän yhteiset tekijät kumoutuvat.
- Jaollisuuden tutkiminen: hajotelmasta näkee suoraan, mihin lukuihin luku on jaollinen.
Alkutekijähajotelma koulussa
Alkuluvut ja luvun jakaminen tekijöihin opitaan yläkoulun matematiikassa, ja niitä sovelletaan murtolukujen laskennassa sekä syt- ja pyj-tehtävissä. Lukiossa lukuteorian käsitteet, kuten jaollisuus ja alkutekijät, tulevat tarkemmin esiin pitkän matematiikan (MAA) kursseilla.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on alkutekijähajotelma?
Alkutekijähajotelma esittää luvun alkulukujen tulona. Aritmetiikan peruslauseen mukaan jokaisella ykköstä suuremmalla kokonaisluvulla on täsmälleen yksi alkutekijähajotelma (tekijöiden järjestystä lukuun ottamatta). Esimerkiksi 360 = 2³ · 3² · 5.
Mikä on alkuluku?
Alkuluku on ykköstä suurempi kokonaisluku, joka on jaollinen vain ykkösellä ja itsellään. Pienimmät alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja niin edelleen. Luku 2 on ainoa parillinen alkuluku.
Miten luku jaetaan alkutekijöihin?
Jaa luku toistuvasti pienimmällä mahdollisella alkuluvulla, kunnes osamääräksi jää 1. Esimerkiksi 60: 60 / 2 = 30, 30 / 2 = 15, 15 / 3 = 5, 5 / 5 = 1. Alkutekijät ovat siis 2, 2, 3 ja 5, eli 60 = 2² · 3 · 5.
Onko luvulla 1 alkutekijähajotelmaa?
Ei ole. Lukua 1 ei pidetä alkulukuna, eikä sillä ole alkutekijöitä. Sen sijaan jokainen alkuluku on oma alkutekijähajotelmansa, esimerkiksi 13 = 13.
Mihin alkutekijähajotelmaa käytetään?
Alkutekijähajotelman avulla voi laskea kahden tai useamman luvun suurimman yhteisen tekijän (syt) ja pienimmän yhteisen jaettavan (pyj), supistaa murtolukuja sekä tutkia jaollisuutta. Se on lukuteorian peruskäsite.
Oliko tästä laskurista apua?