Kärkien koordinaatit
Syötä monikulmion kärjet x y -pareina, yksi piste per rivi (erottimena välilyönti, pilkku tai sarkain). Anna pisteet järjestyksessä reunaa pitkin myötä- tai vastapäivään. Vähintään kolme pistettä.
Esimerkit:
Epäsäännöllisen monikulmion pinta-ala -laskuri
Laske epäsäännöllisen monikulmion pinta-ala kärkien koordinaateista kenkänauhakaavalla (Gaussin kaava) – toimii mille tahansa monikulmiolle.
Tulokset
Epäsäännöllisen monikulmion pinta-ala -laskuri
Tämä laskuri laskee minkä tahansa monikulmion pinta-alan sen kärkien koordinaateista kenkänauhakaavalla, jota kutsutaan myös Gaussin kaavaksi. Menetelmä toimii sekä säännöllisille että epäsäännöllisille ja koverille monikulmioille.
Mikä kenkänauhakaava on?
Kun monikulmion kärjet (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) annetaan järjestyksessä reunaa pitkin, pinta-ala saadaan kaavalla:
A = ½·|Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|
Summa lasketaan kaikkien peräkkäisten kärkiparien yli, ja viimeisestä kärjestä palataan ensimmäiseen. Nimi "kenkänauhakaava" tulee siitä, että koordinaatteja kerrotaan ristikkäin kuin kengännauhoja pujotettaisiin.
Miksi kaava toimii?
Kaava laskee monikulmion alan summana etumerkillisistä puolisuunnikkaista tai kolmioista, jotka muodostuvat kunkin sivun ja koordinaatiston alkupisteen välille. Reunaa kierrettäessä päällekkäiset osat kumoutuvat, ja jäljelle jää tarkalleen monikulmion ala. Itseisarvo poistaa kiertosuunnan vaikutuksen.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan neliön ala, jonka kärjet ovat (0, 0), (4, 0), (4, 4) ja (0, 4):
Σ = (0·0 − 4·0) + (4·4 − 4·0) + (4·4 − 0·4) + (0·0 − 0·4)
= 0 + 16 + 16 + 0 = 32
A = ½ · |32| = 16
Tulos 16 on oikein, sillä kyseessä on 4 × 4 -neliö. Sama menetelmä toimii myös, kun kärkien koordinaatit eivät ole tasalukuja.
Pisteiden järjestys ja suunta
- Järjestys: kärjet kierretään reunaa pitkin myötä- tai vastapäivään, ei satunnaisessa järjestyksessä.
- Suunta: vastapäivään kiertäen etumerkillinen summa on positiivinen, myötäpäivään negatiivinen. Pinta-ala on aina itseisarvo.
- Sulkeminen: monikulmiota ei tarvitse sulkea käsin; laskuri yhdistää viimeisen pisteen ensimmäiseen.
Piiri
Laskuri laskee myös monikulmion piirin summaamalla peräkkäisten kärkien etäisyydet:
piiri = Σ √((xᵢ₊₁ − xᵢ)² + (yᵢ₊₁ − yᵢ)²)
Käyttökohteet
- Maanmittaus: tonttien ja peltojen pinta-alat kartta- tai GPS-koordinaateista.
- Tietokonegrafiikka: monikulmioiden ala ja kiertosuunnan tunnistus.
- Analyyttinen geometria: koordinaatistossa annettujen kuvioiden alat.
Kenkänauhakaava koulussa
Kenkänauhakaava liittyy lukion analyyttiseen geometriaan ja vektoreihin: kunkin sivun osuus alasta on itse asiassa ristitulon kaltainen lauseke. Kaava on havainnollinen esimerkki siitä, kuinka koordinaatit ja algebra yhdistyvät geometriseen suureeseen, ja se yleistää kolmion alan laskemisen mille tahansa monikulmiolle.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on kenkänauhakaava?
Kenkänauhakaava eli Gaussin kaava laskee monikulmion pinta-alan sen kärkien koordinaateista. Nimi tulee laskutavasta, jossa koordinaatteja kerrotaan ristiin kuin kengännauhoja pujotettaessa. Kaava on A = ½·|Σ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|, missä summa kiertää kaikki kärjet järjestyksessä ja viimeisestä palataan ensimmäiseen.
Missä järjestyksessä kärjet pitää antaa?
Kärjet annetaan järjestyksessä monikulmion reunaa pitkin, joko myötä- tai vastapäivään. Järjestyksen on oltava johdonmukainen, koska pisteiden hyppiminen ristiin tuottaa väärän alan. Suunta (myötä- vai vastapäivään) ei vaikuta itseisarvona laskettuun alaan, vain etumerkkiin.
Toimiiko kaava kovera monikulmiolle?
Kyllä. Kenkänauhakaava toimii kaikille yksinkertaisille monikulmioille, sekä kuperille että koverille, kunhan reunat eivät leikkaa toisiaan. Pisteet on vain annettava oikeassa kiertojärjestyksessä reunaa pitkin.
Tarvitseeko ensimmäinen piste toistaa lopussa?
Ei tarvitse. Laskuri sulkee monikulmion automaattisesti yhdistämällä viimeisen kärjen ensimmäiseen. Riittää siis listata jokainen kärki kerran. Jos kuitenkin toistat ensimmäisen pisteen lopussa, tulos pysyy oikeana.
Mihin kenkänauhakaavaa käytetään?
Kaavaa käytetään esimerkiksi maa-alueiden ja tonttien pinta-alojen laskemiseen kartta- tai GPS-koordinaateista, tietokonegrafiikassa monikulmioiden käsittelyyn sekä matematiikassa analyyttisen geometrian tehtävissä. Se on tehokas tapa saada ala suoraan koordinaateista ilman kuvion jakamista osiin.
Oliko tästä laskurista apua?