Kulma kaavoihin
Syötä kulma ja valitse yksikkö. Laskuri sijoittaa kulman peruskaavoihin ja näyttää tulokset.
Pikakulmat (°):
Trigonometriset kaavat -laskuri
Kokoa yhteen trigonometrian peruskaavat ja näe ne kerralla lukuina: syötä kulma, niin laskuri laskee Pythagoraan, kaksinkertaisen ja puolikulman kaavojen arvot.
Tulokset
Trigonometriset kaavat -laskuri
Tämä sivu kokoaa yhteen trigonometrian tärkeimmät peruskaavat ja toimii samalla laskurina. Kun syötät kulman, laskuri laskee kaavojen molemmat puolet lukuina ja näyttää, että kaavat todella pitävät paikkansa. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina.
Perusyhteydet
Trigonometrian perusyhteydet sitovat sinin, kosinin ja tangentin toisiinsa:
tan x = sin x ÷ cos x
cot x = cos x ÷ sin x = 1 ÷ tan x
Tangentti on siis sinin ja kosinin osamäärä. Se ei ole määritelty silloin, kun kosini on nolla.
Pythagoraan kaava
Trigonometrian tärkein kaava on niin sanottu Pythagoraan kaava, joka seuraa yksikköympyrästä:
sin²x + cos²x = 1
Kun yhtälö jaetaan puolittain kosinin tai sinin neliöllä, saadaan kaksi hyödyllistä muotoa:
1 + tan²x = 1 ÷ cos²x
1 + cot²x = 1 ÷ sin²x
Kaksinkertaisen kulman kaavat
Kaksinkertaisen kulman kaavoilla lasketaan kulman 2x arvot kulman x avulla:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x = 2 cos²x − 1
tan 2x = 2 tan x ÷ (1 − tan²x)
Puolikulman kaavat
Puolikulman kaavoilla lasketaan kulman x/2 arvot kulman x avulla. Etumerkki valitaan sen mukaan, missä neljänneksessä puolikulma sijaitsee:
sin(x/2) = ±√((1 − cos x) ÷ 2)
cos(x/2) = ±√((1 + cos x) ÷ 2)
tan(x/2) = (1 − cos x) ÷ sin x = sin x ÷ (1 + cos x)
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan kaavojen arvot kulmalla x = 30°. Tällöin sin 30° = 0,5 ja cos 30° ≈ 0,866.
sin²x + cos²x = 0,5² + 0,866² = 0,25 + 0,75 = 1 ✓
sin 2x = 2 · 0,5 · 0,866 ≈ 0,866 (= sin 60°)
cos 2x = 0,866² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5 (= cos 60°)
Pythagoraan kaava antaa siis täsmälleen 1, ja kaksinkertaisen kulman kaavat tuottavat kulman 60° tutut arvot.
Mistä kaavat tulevat
Suuri osa trigonometrian kaavoista johdetaan summan ja erotuksen kaavoista sin(a ± b) ja cos(a ± b). Esimerkiksi kaksinkertaisen kulman kaavat saadaan asettamalla a = b = x, ja puolikulman kaavat seuraavat cos 2x:n muodoista ratkaisemalla sin²x ja cos²x. Näin koko kaavakokoelma rakentuu muutaman perustuloksen varaan.
Trigonometrian kaavat koulussa
Trigonometriset kaavat kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometrian kursseihin. Niitä tarvitaan trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, lausekkeiden sieventämisessä sekä funktioiden derivoinnissa ja integroinnissa. Kaavojen ymmärtäminen ja johtaminen on hyödyllisempää kuin niiden ulkoa opettelu, sillä ne liittyvät tiiviisti yksikköympyrään.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä trigonometrian peruskaavoja on?
Keskeisimmät kaavat ovat Pythagoraan kaava sin²x + cos²x = 1, perusyhteys tan x = sin x ÷ cos x, kaksinkertaisen kulman kaavat (sin 2x ja cos 2x) sekä puolikulman kaavat. Näistä johdetaan suuri osa muista trigonometrian kaavoista, kuten summan ja erotuksen kaavoista.
Mikä on trigonometrian Pythagoraan kaava?
Trigonometrian Pythagoraan kaava on sin²x + cos²x = 1. Se pätee kaikilla kulmilla ja seuraa suoraan yksikköympyrästä, jossa kehäpiste (cos x, sin x) on aina säteellä 1. Kaavasta saadaan myös muodot 1 + tan²x = 1 ÷ cos²x ja 1 + cot²x = 1 ÷ sin²x.
Miksi tangentin kaavat eivät aina toimi?
Tangentti tan x = sin x ÷ cos x ei ole määritelty, kun cos x = 0 eli kulmilla 90° + k · 180°. Näillä kulmilla myös kaksinkertaisen kulman tangenttikaava ja jotkin puolikulman muodot menevät määrittelemättömiksi, koska niissä jaetaan nollalla.
Mihin trigonometrian kaavoja tarvitaan?
Kaavoja käytetään trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen, lausekkeiden sieventämiseen, derivointiin ja integrointiin sekä fysiikan jaksollisten ilmiöiden mallintamiseen. Lukiossa ne ovat keskeinen osa pitkän matematiikan trigonometrian kurssia.
Annetaanko kulmat asteina vai radiaaneina?
Kaavat pätevät yhtä lailla asteina ja radiaaneina, kunhan koko laskussa käytetään samaa yksikköä. Tässä laskurissa voit valita yksikön itse. Lukion tehtävissä käytetään molempia; radiaanit ovat luonnollinen valinta esimerkiksi derivoinnissa.
Oliko tästä laskurista apua?