Kulmat a ja b
Syötä kulmat a ja b ja valitse yksikkö. Laskuri laskee summan a + b tai erotuksen a − b arvot.
Summan ja erotuksen kaavat -laskuri
Laske kahden kulman summan tai erotuksen sini, kosini ja tangentti kaavoilla sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b.
Tulokset
Summan ja erotuksen kaavat -laskuri
Tämä laskuri laskee kahden kulman summan tai erotuksen sinin, kosinin ja tangentin. Summan ja erotuksen kaavat ovat trigonometrian peruskaavoja, joista johdetaan suuri osa muista kaavoista. Kulmat voi antaa asteina tai radiaaneina.
Summan ja erotuksen kaavat
Kahden kulman summan tai erotuksen arvot saadaan kulmien omista sini- ja kosiniarvoista:
sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
tan(a ± b) = (tan a ± tan b) ÷ (1 ∓ tan a tan b)
Sinin kaavassa etumerkki on sama kuin vasemmalla puolella, mutta kosinin kaavassa se kääntyy päinvastaiseksi.
Summakaavat erikseen
Kun lasketaan summaa a + b, kaavat ovat:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Erotuskaavat erikseen
Kun lasketaan erotusta a − b, kaavat ovat:
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan sin(45° + 30°) eli sin 75°. Tarvittavat arvot: sin 45° ≈ 0,707, cos 45° ≈ 0,707, sin 30° = 0,5 ja cos 30° ≈ 0,866.
sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 0,707 · 0,866 + 0,707 · 0,5 ≈ 0,966
Tulos on sin 75° ≈ 0,966. Samalla tavalla saataisiin cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° ≈ 0,259.
Tarkkojen arvojen laskeminen
Summan ja erotuksen kaavoilla saadaan tarkkoja arvoja kulmille, jotka ovat tuttujen kulmien summia tai erotuksia. Esimerkiksi 15° = 45° − 30° ja 75° = 45° + 30°. Näin esimerkiksi sin 15° voidaan ilmaista tarkasti juurilausekkeena ilman laskinta.
Milloin tangentin kaava ei toimi
Tangentin kaava tan(a ± b) = (tan a ± tan b) ÷ (1 ∓ tan a tan b) ei ole määritelty, jos jokin tangenteista tan a tai tan b ei ole olemassa (cos = 0) tai jos nimittäjä 1 ∓ tan a tan b on nolla. Näissä tilanteissa arvo lasketaan tarvittaessa sinin ja kosinin osamääränä.
Summan ja erotuksen kaavat koulussa
Summan ja erotuksen kaavat kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometrian kursseihin. Niistä johdetaan kaksinkertaisen kulman ja puolikulman kaavat, ja niitä tarvitaan trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa sekä lausekkeiden sieventämisessä. Kaavat ovat trigonometrian kaavakokoelman perusta.
Usein kysytyt kysymykset
Mitkä ovat summan ja erotuksen kaavat?
Kaavat ovat sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b ja cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b. Huomaa kosinin kaavassa etumerkki kääntyy: summassa on miinus ja erotuksessa plus. Tangentille pätee tan(a ± b) = (tan a ± tan b) ÷ (1 ∓ tan a tan b).
Miksi kosinin kaavassa etumerkki vaihtuu?
Kosinin kaavassa etumerkki on vastakkainen vasemman puolen merkkiin nähden: cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ja cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. Tämä seuraa kaavojen johtamisesta, ja se on tavallinen virhelähde, joten kannattaa muistaa erikseen.
Mihin summan ja erotuksen kaavoja käytetään?
Kaavoja käytetään trigonometristen lausekkeiden sieventämiseen, tarkkojen arvojen laskemiseen (kuten sin 75° = sin(45° + 30°)) ja yhtälöiden ratkaisemiseen. Niistä johdetaan myös kaksinkertaisen kulman ja puolikulman kaavat.
Mistä summan ja erotuksen kaavat johdetaan?
Kaavat voidaan johtaa yksikköympyrässä pisteiden välisen etäisyyden avulla tai vektoreiden ja kompleksilukujen kautta. Lukiossa ne yleensä esitetään valmiina ja johdetaan niistä edelleen muut kaavat, kuten kaksinkertaisen kulman kaavat asettamalla a = b.
Annetaanko kulmat asteina vai radiaaneina?
Kaavat toimivat kummallakin yksiköllä, kunhan molemmat kulmat ovat samassa yksikössä. Tässä laskurissa voit valita asteet tai radiaanit. Lukiossa käytetään molempia yksiköitä.
Oliko tästä laskurista apua?